48.4. Синтез ренормгруппы и теории возмущений.

Как видно, решения функциональных уравнений обладают функциональным же произволом. Ограничения, связанные с функциональной автомодельностью, снижают на единицу число независимых аргументов. Так, например, функция трех аргументов в силу (30) полностью определяется заданием функции двух аргументов . Для фиксирования остающегося произвола следует обратиться к динамической информации определенной квантовополевой модели. Основным источником такой информации является перенормированная теория возмущений. Поэтому можно поставить задачу нахождения таких частных решений функциональных ренормгрупповых уравнений, которые удовлетворяют условиям соответствия с результатами вычислений конкретных вычислений по теории возмущений. Наиболее удобный путь состоит в определении функций входящих в дифференциальные урав нения (так называемых ренормгрупповых функций), через теорию возмущений. Положим поэтому

где нижний индекс означает, что функции представлены небольшим числом членов разложений по степеням константы связи.

В качестве простого примера рассмотрим уравнение для инвариантного заряда (17), когда функция определена с помощью однопетлевого приближения для

Подставляя (39) в первое из соотношений (38), имеем

и, следовательно,

Заменой переменные разделяются, и мы приходим к точной квадратуре (см. Бланк, Ширков (1956)):

Это выражение, являясь точным решением уравнения (17), строго удовлетворяет функциональному групповому уравнению (47.32), т. е. обладает свойством функциональной автомодельности. В то же время первые члены его разложения по h совпадают с «исходным» выражением (39) теории возмущений, которое не обладает этим свойством. Поэтому можно сказать, что проведенный синтез теории возмущений и ренормгрупповых свойств приводит к «улучшенной» ренорминвариантной теории возмущений, возникающей в результате специального пересуммирования бесконечных подпоследовательностей, содержащих все, сколь угодно высокие степени параметра разложения.

В более общем случае, когда исходное приближение для инвариантного заряда (а следовательно, и для Р) определено с точностью до величин более высокого порядка, уравнения (17) и (20) удается проинтегрировать, вообще говоря, лишь приближенно (например, в случае «разномасштабных» масс, важном в квантовой хромодинамике — см. работу Ширкова (1981)).

Точному интегрированию, однако, поддаются важные случаи ультрафиолетовой (см. ниже § 49) и инфракрасной (см. § 50.3) асимптотик, когда эффективным параметром разложения перенормированой теории возмущений оказывается произведение малой константы связи на большое значение логарифма. Использование ренормгрупповых свойств, т. е. решение ренормгрупповых уравнений на основе информации из теории возмущений, позволяет существенно улучшить аппроксимационные свойства исходных разложений и восстановить истинный характер (ультрафиолетовой или инфракрасной) сингулярности, совместный со свойством функциональной автомодельности.