ГЛАВА VI. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ УСТРАНЕНИЯ РАСХОДИМОСТЕЙ

§ 33. Спинорная электродинамика

I. Общий вид контрчленов

33.1. Типы расходящихся диаграмм и теорема Фарри.

В качестве первого примера взаимодействующих квантованных волновых полей мы подробно рассмотрим практически важный случай спинорной электродинамики, т. е. систему взаимодействующих векторного электромагнитного и спинорного фермиснного полей с лагранжианом взаимодействия

Напомним, что в соответствии со структурой выражения (23.3) в каждой вершине диаграмм Фейнмана встречаются две фермионные линии и одна фотонная, а прнчинные функции взаимодействующих полей имеют вид

Поэтому степень полинома Р в числителе причинной функции для фотонной линии равна нулю, а для фермионной линии равна единице. Максимальный индекс вершины, определяемый по формуле

оказывается равным нулю, и лагранжиан (23.3) относится поэтому к ренормируемому типу.

Проведем теперь классификацию расходящихся диаграмм, основываясь на формуле (32.5). Замечаем прежде всего, что ввиду равенства нулю максимального индекса вершины индекс диаграммы не зависит от числа вершин и оказывается зависящим лишь от числа и характера внешних линий:

Как указывалось в § 32, максимальное число внешних линий на расходящихся диаграммах не может превышать четырех. Из (1) следует,

дует, что в спинорной электродинамике единственной диаграммой такого рода является диаграмма с четырьмя внешними фотонными линиями. Индекс этой диаграммы оказывается равным нулю.

Перейдем к диаграммам с тремя внешними линиями. В силу свойства непрерывности спинорных линий (см. § 23) число спинорных внешних линий всегда четно. Поэтому достаточно рассмотреть диаграммы с тремя внешними фотонными и диаграммы с двумя внешними фермнонными и одной фотонной линиями. Суммарные вклады в матричные элементы от диаграмм с нечетным числом внешних фотонных линий при отсутствии внешних спинорных линий будут равны нулю на основании изложенной ниже теоремы Фарри.

Рис. 34

Для диаграммы с двумя внешними спинорными ли ниями и одной фотонной линией индекс равен нулю, для диаграммы с двумя внешними спинор ными линиями — единице, а для диаграммы с двумя внешними фотонными линиями — двум. Диаграммы с одной внешней фермионной линией исключены в силу непрерывности фермионных линий, а диаграммы с одной фотонной внешней линией запрещаются по теореме Фарри,

Перечисление расходящихся диаграмм на этом закончено. Перед тем как обратиться к исследованию соответствующих квазилокальных операторов, докажем упомянутую теорему Фарри.

Отметим, прежде всего, что проводимая общая классификация расходящихся диаграмм не учитывает свойств симметрии и инвариантности системы по отношению к различным преобразованиям. Выполнение указанных свойств ведет к значительным ограничениям возможных типов диаграмм и, как мы увидим ниже, устанав ливает взаимную связь между структурой регуляризующих квазилокальных операторов, соответствующих различным расходящимся диаграммам. Например, отмеченная выше непрерывность спинорных линий является, по существу, отражением свойства сохранения электрического заряда фермионов (соответствующее преобразование см. в § 8).

Важное ограничение на возможные типы диаграмм накладывает свойство зарядовой инвариантности, т. е. инвариантности относительно изменения знака электрического заряда в процессах, в начальных и конечных состояниях которых отсутствуют электрически заряженные фермионные частицы. Такие процессы как раз и описываются диаграммами, на которых все внешние линии — фотонные. Преобразование зарядового сопряжения приводит здесь,

очевидно, к изменению знака заряда виртуальных фермионов в промежуточных состояниях. Движение указанных виртуальных частиц на диаграммах Фейнмана описывается замкнутыми спинорными циклами.

Теорема Фарри (1937) заключается в утверждении, что матричные элементы, соответствующие диаграммам, содержащим хотя бы один нечетный замкнутый спинорный цикл, взаимно аннулируются. Рассмотрим подобную диаграмму G, на которой L — нечетный замкнутый цикл (рис. 34). Очевидно, что матричный элемент, соответствующий этой диаграмме, будет суммой двух членов, один из которых соответствует движению заряда вдоль L по часовой стрелке, а второй — движению в противоположном направлении. Как будет сейчас показано (доказательство принадлежит Фейнману (1949а)), указанные члены отличаются лишь знаками, а потому в сумме дают нуль.

Сомножитель матричного элемента, соответствующий обходу по часовой стрелке замкнутого цикла L, содержащего вершин, запишем в виде

Воспользуемся тем, что вся схема спинорного поля и, в частности, соотношение, определяющее матрицы Дирака:

так же как и значения шпуров от произведений любого числа матриц, инвариантны относительно замены

В результате преобразования (3) причинная функция

примет вид

Поэтому, производя над выражением (2) преобразование (3), получаем:

Отсюда видно, что благодаря инвариантности шпура по отношению к преобразованию (3) множитель (2) при четном совпадает с выражением

соответствующим обходу контура L в противоположном направлении, а при нечетном отличается от него знаком. В этом последнем случае сумма матричных элементов, соответствующих различным направлениям обхода нечетного цикла, аннулируется и теорема Фарри доказана.

Заметим, что приведенное доказательство теоремы Фарри носит формальный характер, поскольку мы имеем здесь дело с сингулярными произведениями нерегуляризованных причинных функций. Нетрудно, однако, видеть, что доказательство остается в силе и при замене на и сумма регуляризованных матричных элементов равна нулю. Поэтому, поставив в соответствие таким диаграммам квазилокальный оператор, равный нулю:

мы получим выполнение теоремы Фарри для полных коэффициентных функций после устранения расходимостей.

Подчеркнем, что условие (5), обеспечивающее зарядовую инвариантность теории после устранения расходимостей, вообще говоря, не является обязательным. Заменив его на какое-либо другое, мы могли бы получить ту или иную зарядово-неинвариантную теорию.

Отметим также, что мы доказали теорему Фарри для спинорной электродинамики, используя алгебраические свойства матриц Дирака. Как уже отмечалось, физическая основа теоремы Фарри связана с симметрией относительно замены знака электрического заряда, точнее, с операцией зарядового сопряжения. Ясно поэтому, что теорема Фарри может быть обобщена на более широкий класс взаимодействий.

Вернемся к рассматриваемым диаграммам, Ввиду того, что диаграммы, имеющие лишь внешние фотонные линии в нечетном числе, обладают нечетным числом вершин, они обязательно содержат хотя бы один нечетный спинорный цикл, и поэтому матричные элементы диаграмм с нечетным числом внешних фотонных линий всегда аннулируются. Это обстоятельство мы использовали выше, запретив существование диаграмм с гремя и с одной внешними фотонными линиями.

Таким образом, с учетом теоремы Фарри, мы имеем следующие четыре типа расходящихся диаграмм в спинорной электродинамике, изображенные на рис. 35. На этих схемах заштрихованные окружности представляют внутренние части диаграмм, содержащие произвольное (в а, в и г — четное, в б — нечетное) число вершин. Напомним, что независимость степени расходимости от числа вершин вытекает

в спинорной электродинамике из равенства нулю максимального индекса вершины.

Исследуем теперь форму квазилокальных операторов, соответствующих каждой из этих расходящихся диаграмм.

Рис. 35

Диаграмме а при каждом четном , начиная с соответствует член в

Степень дифференциального полинома в этом выражении равна нулю в согласии со значением индекса диаграммы а. Диаграмме в при каждом нечетном и, начиная с соответствует квазилокальный оператор

Диаграмме в при каждом четном , начиная с соответствует член в

Дифференциальный полином здесь — второй степени в согласии с индексом соответствующей диаграммы. В полиноме отсутствует член первой степени ввиду невозможности построить инвариантную комбинацию с его участием. Наконец диаграмме при каждом четном , начиная с соответствует оператор

Из выписанных выражений видно, что квазилокальные операторы содержат довольно много произвольных констант.