10.4. Нормальное произведение операторов и запись динамических переменных.

Введем понятие оператора, записанного в нормальной форме, и понятие нормального произведения операторов.

Нормальной формой оператора называется такая форма, в каждом слагаемом которой все операторы рождения (соответственно импульсном представлении) стоят слева от всех операторов уничтожения и (соответственно ).

Нетрудно видеть, что нормальная форма операторов является наиболее удобной с точки зрения вычислений. Действительно, при вычислении матричного элемента ФЛФ какого-либо оператора А в нормальной форме необходимо лишь коммутировать входящие в А операторы со всеми из амплитуды состояния Ф и из А со всеми из Ф до тех пор, пока один из и не подействует на или один из и — на что даст нуль.

Рассмотрим пример: запишем в нормальной форме произведение двух бозе-операторов . Имеем последовательно

Очевидно, что в более общем случае, приводя к нормальной форме произведение некоторого количества операторных волновых функций и, мы получим сумму произведений компонент и перестановочных -функций. Общий рецепт такого приведения рассмотрен нами ниже (§ 17) и составляет содержание важной теоремы Вика. Все выражение в целом можно условно считать «полиномом» по степеням Д-функций. Нулевой член этого полинома, т. е. сумма членов, вообще не содержащих -функций, называется нормальным произведением исходных операторных волновых функций. Нормальное произведение можно также определить как произведение, приведенное к нормальной форме, причем в процессе приведения все перестановочные функции считаются равными нулю.

Нормальное произведение операторов обозначается символом

В качестве другого примера запишем нормальное произведение двух операторов , квантованных по Ферми—Дираку. Имеем, очевидно,

Условимся теперь все динамические переменные, квадратично зависящие от операторов с одинаковыми аргументами, такие, как лагранжиан, энергия-импульс, ток и т. д., записывать по определению в форме нормального произведения. Например, лагранжиан комплексного скалярного поля (3.32) будем писать в виде

Нетрудно видеть, что отсюда в силу определения амплитуды вакуума

и ему сопряженного соотношения следует равенство нулю средних значений всех динамических величин по вакуумному состоянию, т. е.

Тем самым из теории сразу исключаются псевдофизические величины типа нулевой энергии, нулевого заряда и т. п., обычно возникающие при квантовании. Совершенно очевидно при этом, что все законы сохранения, установленные в классической теории для введенных динамических величин, сохраняются и здесь, так как при доказательстве использовались алгебраические тождества, справедливые и для нормальных произведений.

Отметим, что переход к нормальному произведению может нарушать свойство положительности.

Для того чтобы записать перестановочные соотношения в релятивистски инвариантном виде, перейдем к 4-мерным операторам, определяемым соотношениями

откуда также вытекает:

Представляя поэтому правые части (14) и (15) в виде

получим, приравнивая подынтегральные выражения,

Отсюда следует для ферми-операторов

и для бозе-операторов —