5.2. Градиентное преобразование и условие Лоренца.

Заметим далее, что процедура введения векторного потенциала А в сильной степени неоднозначна. Дело заключается в том, что в теории Максвелла наблюдаемые величины, каковыми являются векторы Е, Н, тензор а вместе с ними и уравнения электромагнитного поля, инвариантны относительно так называемого градиентного (или калибровочного) преобразования потенциала А:

Потенциал А не является наблюдаемой величиной и оказывается неоднозначным. В (5) — произвольная функция, обладающая частными производными первого и второго порядка.

Отмеченной неоднозначностью потенциала А можно воспользоваться таким образом, чтобы удовлетворить какому-либо дополнительному условию. В качестве такого дополнительного условия выбирают обычно так называемое условие Лоренца

являющееся единственно возможным инвариантным условием, линейным по А. Не составляет труда убедиться, что всегда может быть выбрана таким образом, чтобы удовлетворить условию (6).

С учетом условия Лоренца уравнения поля (4) принимают вид

Однако дополнительное условие Лоренца еще не полностью определяет потенциал А. Соотношения (6) и (7) остаются инвариантными относительно «специализированного градиентного преобразования»

характеризующегося тем, что произвольная функция должна удовлетворять уравнению Даламбера

В любой частной лоренцовой системе отсчета функцию можно выбрать таким образом, чтобы одна из компонент А, например «скалярный» потенциал обратилась в нуль. Условие Лоренца принимает при этом вид

Для того чтобы установить физический смысл соотношения (9), удобно перейти к импульсному представлению

Подставляя (10) в (9), находим:

Условие (11) представляет собой условие поперечности электромагнитного поля. Таким образом, несмотря на то что электромагнитное поле описывается четырехкомпонентным потенциалом, физический смысл имеют лишь две линейно независимые компоненты, ортогональные волновому вектору. Важно подчеркнуть, что, хотя условие поперечности не является ковариантным, можно добиться его выполнения в любой частной лоренцевой системе путем соответствующего специализированного калибровочного преобразования (8).

Отметим также, что фактическое сведение четырех компонентного поля к двухкомпонентному, происходящее вследствие условия градиентной инвариантности, тесно связано с равенством нулю массы покоя частиц поля — фотонов. Именно в силу этого важного свойства из уравнений поля выпадает потенциал А и возникает свойство инвариантности электромагнитного поля при градиентных преобразованиях.