§ 26. Примеры расчета процессов второго порядка

В качестве примеров приложения методики, изложенной в § 25, вычислим в первом неисчезающем приближении сечения комптоновского рассеяния, двухфотонной аннигиляции электрон-позитрониой пары и тормозного излучения электрона в поле ядра. Так как получающиеся формулы хорошо известны, мы не будем вдаваться в их обсуждение..

26.1. Комптоновское рассеяние.

Вычислим сечение рассеяния фотона на свободном электроне. Начальное состояние содержит фотон с импульсом энергией и электрон с 4-импульсом Будем считать, не утрачивая общности, что электрон покоится, т. е. что . В конечном состоянии присутствуют рассеянный фотон с импульсом и энергией и электрон, получивший импульс отдачи с энергией

где — угол между векторами , т. е. угол рассеяния фотона.

Дифференциальное эффективное сечение рассматриваемого процесса согласно общей формуле (25.27) равно

Матричный элемент определяется по формуле (24.35). Для его вычисления ограничимся возможными диаграммами второго порядка, изображенными на рис. 14. Соответствующие им матричные элементы получаем по правилам соответствия, сформулированным в § 24.

Рис. 14.

Запишем подробно матричный элемент для диаграммы (рис. 14, а). Сопоставим внешней линии электрона, выходящего из вершины 2 с 4-импульсом , фактор

а внешней линии фотона, выходящего из вершины 2 с импульсом — фактор

Поскольку этой вершине соответствует фактор

то произведение двух последних факторов равно

Внутренней электронной линии соответствует фактор

вершине 1 вместе с внешней фотонной линией

и, наконец, внешней электронной линии

Перемножая все приведенные факторы в последовательности, соответствующей движению вдоль электронной линии, и интегрируя по , получаем выражение

где

Диаграмма рис. 14, б дает аналогичный член

Замечая, что

получаем, складывая ,

причем

При вычислении отметим, что по начальному спиновому индексу необходимо усреднить, а по конечному v — просуммировать. Поэтому с помощью соотношений (7.20) и (7.21) находим:

где

Так как 4-векторы действительны, эрмитова, а антиэрмитсва, то, если имеем

где — векторы типа .

Перед тем как вычислить (4), несколько упростим М. Учитывая, что, по определению матриц Дирака,

можно представить М в виде

Но так как входит в комбинации

а, согласно уравнению поля,

и ввиду того, что

матрицу М можио представить в виде

Матрицу А теперь можно записать в виде трех слагаемых

где

При вычислении шпуров используем условия поперечиостя электромагнитного поля

и соотношения

Член содержит произведение нечетного числа матриц Дирака, а потому

Для вычисления достаточно скоммутировать два первых сомножителя в и воспользоваться третьей из формул (6.16), что дает:

    (6)

где x — угол поворота поляризаций:

При вычислении удобно, воспользовавшись возможностью циклической перестановки сомножителей под знаком шпура, представить его в виде

Производя затем коммутации таким образом, чтобы одинаковые сомножители оказались рядом и обратились в нуль (так как ), получим

в итоге несложной выкладки

Складывая полученные выражения с учетом того, что, как следует из закона сохранения 4-импульса,

находим

Подставляя это выражение в (3), а затем в свою очередь в (1), получаем для дифференциального сечения известную формулу Клейна—Нишины—Тамма

Здесь

— классический радиус электрона.

Произведя усреднение по поляризации рассеянных фотонов можно получить из (8) [детали усреднения можно найти в § 22 книги Гайтлера (1954)]

где — угол рассеяния.