51.3. Надежность результатов. Высшие приближения.

Для завершения анализа -петлевого приближения заметим следующее. Как мы убедились, учет второго члена в бета-функции кардинально изменил физическую картину. Вместо внутренне противоречивого случая 49.2 в) мы получили случай 49.2 а), соответствующий конечной перенормировке константы связи. Таким образом результат однопетлевого приближения оказался неустойчивым. Возникает естественный вопрос об устойчивости второго, только что рассмотренного приближения. Качественный ответ может быть получен внутри самого -петлевого приближения. С этой целью,

приняв во внимание, что выражение (10) для получено с помощью теории возмущений, произведем переразложение

в левой части уравнения (12), что приводит нас к случаю 49.2 б). На этом основании можно сделать вывод о качественной ненадежности результатов 2-петлевого приближения.

Этот вывод получает количественное подтверждение прямыми вычислениями высших приближений. Такие вычисления были проведены в 3- и 4-петлевых приближениях в трех различных схемах перенормировки. Отсылая любопытствующего читателя за подробностями и литературными ссылками к обзору Владимирова и Ширкова (1979), мы приведем здесь лишь 5-петлевой результат для бета-функции эффективного заряда

полученный недавно в работах Горишнего и др. (1983) и Казакова (1983) в схеме размерной перенормировки.

Это выражение, имеющее аналитический вид, является своеобразным вычислительным рекордом в квантовой теории поля. В целях удобства качественного обсуждения его полезно приближенно представить в виде

а также

Из последнего выражения ясно видно, что в области значений g вблизи нуля (11) бета-функции 2-петлевого приближения следующие поправки не только не малы, но велики по сравнению с единицей. Из формулы (18) следует также, что численные коэффициенты в ряду для бета-функции растут быстрее, чем степенным образом, что ставит на повестку дня вопрос о сходимости ряда квантовополевой теории возмущений.

Не вдаваясь в детали этого сложного вопроса, отметим, что, как было установлено Липатовым (1977) с помощью метода функционального перевала (см также обзор Казакова и Ширкова (1980)), подобные ряды имеют асимптотический, в смысле Пуанкаре, характер и могут служить источником количественной информации лишь при достаточно малых значениях параметра разложения.

Итог нашего обсуждения можно сформулировать следующим образом. В случае, когда бета-функция положительна в однопетлевом приближении, с ростом имеет место выход g из области слабой связи и, вообще говоря, никаких устойчивых результатов, основываясь лишь на конечном числе членов теории возмущений, получить не удается. В противном случае, когда первый коэффициент отрицателен, g убывает с ростом и в ультрафиолетовом пределе

мы получаем асимптотически свободную теорию. Эта возможность реализуется в моделях, содержащих поля Янга — Миллса.