§ 49. Асимптотический анализ в ультрафиолетовой области

Наиболее содержательные приложения метод ренормализациоиной группы нашел в исследовании ультрафиолетовых асимптотик перенормируемых квантовополевых моделей. Поэтому мы проведем сейчас общий анализ решений ренормгрупповых уравнений в ультрафиолетовой области.

49.1. Асимптотические уравнения для инвариантного заряда.

В ультрафиолетовой области

выберем точку нормировки, удовлетворяющую неравенству

и будем рассматривать область изменения переменной № такую, что отношение принимает значения в интервале

В перенормируемых моделях с безразмерными константами связи предельный переход

оказывается регулярным и функциональные уравнения ренормализационной группы упрощаются. Массовая переменная из них

выпадает. Уравнение для инвариантного заряда принимает вид

Здесь использовано обозначение

В дальнейшем все величины, не содержащие массовой переменной, следует считать связанными с соответствующими величинами, введенными в § 47, 48, подобным предельным переходом.

Относительно предельного соотношения (5) необходимо сделать следующее замечание. Введенный в (5) асимптотический инвариантный заряд нормирован

в точке удовлетворяющей условию (2). Таким образом, фигурирующая в этом контексте константа связи также является асимптотической. По определению, она равна значению инвариантного заряда в ультрафиолетовой точке нормировки, удовлетворяющей условию (2). В то же время в реалистических моделях квантовой теории поля параметром, связанным с наблюдаемыми величинами, является константа связи, определенная через низкоэнергетические значения пропагаторов и Еершинных функций Грина (ср. (34.54) и (36.31). Необходимо поэтому иметь связь между асимптотической константой и низкоэнергетической

Условие инвариантности инвариантного заряда дает

Введенный здесь низкоэнергетический инвариантный заряд нормирован в точке , где — число порядка единицы. Поэтому можно написать

причем

Таким образом,

Правая часть этого соотношения, будучи разложена в ряд по константе связи представляется полиномом по степеням Поэтому точный знак равенства в (8) можно поставить только,

если перейти в левой части к асимптотической предельной форме

являющейся полиномом но . Таким образом,

Входящая в (9) функция получается из отбрасыванием всех членов, стремящихся к нулю при Если теперь формально положить , то мы получим из (9) при

— искомую связь между высокоэнергетической константой связи и низкоэнергетической физической константой связи

Обратимся к решению уоавнения (4). Дифференциальное уравнение Овсянникова для будет

Здесь

Общее ненормированное решение уравнения (10) представимо в виде произвольной функции Ф от первого интеграла уравнения характеристики

где

Используя условие нормировки (6), находим, что функции Ф и V взаимно обратны. Поэтому

С учетом (12) получаем

— формулу Гелл-Манна—Лоу (1954).

Заметим, что решение (13), (14) является частным случаем общего решения (48.30). Связь между функциями Ф! из (48.30) и f из (13) имеет вид

Ясно также, что решение в форме (14) может быть непосредственно получено из асимптотической формы эволюционного уравнения (48.17)

Отметим еще, что уравнение (10), для инвариантного заряда, а также ниже уравнение (28) для одночастичной функции Грина, являются асимптотическими формами соответствующих уравнений Овсянникова вида (48.19), (48.21). Эти асимптотические уравнения Овсянникова полностью совпадают с ультрафиолетовыми пределами так называемых уравнений Кэллана (1970)- Симанчика (1970), Мы считаем справедливым называть такие асимптотические уравнения уравнениями Овсянникова—Каллана—Симанчика