33.3. Тождества Уорда.

Рассмотрим наиболее простой случай, когда в диаграмме, соответствующей имеется одна внешняя фотонная линия, одна входящая электронная линия и одна выходящая электронная линия (рис. 35, б). В этом случае является вершинной функцией

— собственной энергией электрона

Вместо (27) получаем

Полученная формула устанавливает связь между вершинной функцией порядка и собственной энергией электрона в порядке. Эта формула известна под названием обобщенного тождества Уорда. Дифференцируя (28) по и полагая получим обычное тождество Уорда

где мы перешли к обозначениям (27.4), (28.3):

Выполняя в (28) и (29) суммирование по , можно получить тождества Уорда для соответствующих полных вершинных и собственноэнергетических функций. Мы отложим эту операцию до § 34.3. Для диаграмм 35, а и в, не содержащих внешних электронных линий в правой части (27), мы получаем нуль, вследствие чего коэффициентные функции соответствующих выражений

удовлетворяют условиям

Мы рассмотрели применение условия градиентной инвариантности (27) к диаграммам с неотрицательным индексом , изображенным на рис. 35. Использование этого условия привело к ограничениям (30), (31) для коэффициентных функций диаграмм с двумя и четырьмя фотонными концами, а также к обобщенному тождеству Уорда, связывающему вершинную функцию и собственную энергию

электрона. Полученные соотношения налагают связи на произвольные константы, возникающие в процессе устранения ульрафиолетовых расходимостей.

Если применить условие градиентной инвариантности (27) к диаграммам с большим числом внешних концов (и отрицательными индексами , то можно получить другие полезные соотношения. Так, например, подразумевая под в левой части (27) коэффициентную функцию процесса комптоновского рассеяния, получаем связь типа обобщенного тождества Уорда (28) между комптоновским рассеянием и вершинной функцией и т. д. Аналог обычного тождества Уорда (29), получаемый затем дифференцированием по импульсу фотона, приводит к так называемым пороговым теоремам.

Перейдем теперь к доказательству градиентной инвариантности вычитательной процедуры. Ввиду выполнения условия (12) до вычитательного процесса следует убедиться в градиентной инвариантности вычитаемых квазилокальных операторов . Если при этом окажется, что вычитаемые операторы, соответствующие диаграммам рис. 35, а и в, по отдельности градиентно-инвариантны, а операторы, соответствующие диаграммам рис. 35, б и г, удовлетворяют соотношению (27), то этим будет установлена градиентная инвариантность вычитательной процедуры. Покажем, что такое положение действительно имеет место.

Воспользовавшись тем, что условие градиентной инвариантности вычитательной процедуры во втором и третьем порядках по уже установлено (см. § 28), доказательство проведем методом индукции. Предположим, что квазилокальные операторы удовлетворяют указанным требованиям вплоть до некоторого нечетного

Рассмотрим член матрицы рассеяния до вычитания из него квазилокального оператора В силу доказанного для S-матрицы до процесса вычитания и предполагаемого для квазилокальных операторов низших порядков

свойства градиентной инвариантности выражение будет также градиентно-инвариантным. Специфические расходимости порядка при четном соответствуют диаграммам, приведенным на рис. 35, а, в, г.

Ввиду градиентной инвариантности будут инвариантными также ее части, соответствующие этим диаграммам. При этом градиентная инвариантность диаграммы 35, г очевидна, а условия инвариантности для диаграмм 35, а, в имеют вид (30) и (31).

Дифференцируя (30) по и полагая получаем

Эта формула имеет исключительно важное значение. Благодаря лишь логарифмической расходимости диаграммы рис. 35, а устранение расходимости сводится к вычитанию из его значения при нулевых импульсах внешних фотонов, т. е. величины

которая, в силу (22), равна нулю. Поэтому величина оказывается сходящейся, и из диаграммы рис. 35, а вообще не нужно устранять расходимости.

Таким образом, условие градиентной инвариантности привело нас к выводу о сходимости диаграмм, описывающих рассеяние света на свете, и следовательно, к отсутствию квазилокальных операторов вида (6). Это обстоятельство находится в соответствии с отсутствием градиентной инвариантности у выражений, которые подобно (6) содержат непосредственно электромагнитный потенциал (а не его производные, сводящиеся к электрическому и магнитному полям).

Обратимся к двухфотонной диаграмме. Условие (31) вместе с соображениями релятивистской ковариантности приводит нас к заключению, что оператор поляризации

имеет поперечную форму

    (33)

Поскольку оператор определен с точностью до произвольного конечного полинома второй степени по компонентам k, то ясно, что этот полином имеет вид

что находится в соответствии с (15).

Градиентная инвариантность не накладывает каких-либо ограничений на квазилокальный оператор соответствующий диаграмме собственной энергии электрона (рис. 35, г). Этот оператор определен с точностью до полинома

Рассмотрение членов таким образом, закончено. В следующем нечетном порядке единственной диаграммой, из которой необходимо устранить расходимость, является вершинная диаграмма (см. рис. 35, б). При устранении расходимости из нее необходимо обеспечить выполнение условия (29). Записывая его для вычитаемых членов, т. е. для коэффициентных функций квазилокальных операторов

    (36)

примем во внимание, что вычитаемые части Г и с точностью до конечных полиномов совпадают с их рядами Маклорена:

Подставляя эти выражения в (36), получаем с учетом (29)

Ввиду установленной однозначности константы она и определяется этим соотношением. Процедура вычитания в порядке при соблюдении (37) также оказывается градиентно-инвариантной. Доказательство на этом закончено.

Заметим еще, что совокупность соотношений (36) и (37) устанавливает в каждом порядке по равенство констант в операторах (7) и (9), т. е. представляет собой тождество Уорда для констант перенормировки.