34.4. Радиационные поправки во внешние линии и выбор конечных постоянных.

Конкретизируем теперь процедуру вычитания и окончательно устраним произвол в вычитаемых полиномах. При общем определении вычитательной операции (§ 29) мы условились вычитать из расходящихся выражений (в данном случае ) первые члены их разложений в ряды Маклорена. Для практических целей, однако, оказывается более удобным взять центр разложения собственно-энергетической части фермиона в точке . Мы определим поэтому регулярную функцию следующим образом:

Здесь мы воспользовались тем обстоятельством, что 2 зависит от лишь через и ввели обозначение

При таком способе вычитания

и

откуда также следует, что

Из (45) вытекает, что оказывается равной наблюдаемой массе электрона. Это можно непосредственно заключить из того, что полюс полной функции Грина

совпадает с полюсом функции

Условие (46) приводит к равенству нулю радиационных поправок для внешних фермионных линий.

В связи с выбором центра разложения функции 2 в точке необходимо также заметить, что, как было установлено в главе V (§§ 29.2, 31.1), область аналитичности регуляризоваиных выражений в пределе ограничена условием (31.1), которое в нашем случае имеет вид

Поскольку в рассматриваемом случае минимальная масса равна нулю (масса фотона), то в точке функция может не обладать свойством аналитичности, что в действительности и имеет место. В этой точке производная расходится. Эта расходимость, однако, является проявлением хорошо известной «инфракрасной катастрофы» (см. § 35), и для ее ликвидации оказывается достаточным ввести в промежуточных рассуждениях вспомогательную величину — фиктивную бесконечно малую массу фотона Поэтому в дальнейшем мы всегда будем предполагать там, где в этом возникает необходимость, наличие у фотона малой массы

Рассмотрим теперь вычитание для вершинной части Г. В § 33 было показано, что требование градиентной инвариантности приводит к тому, что вычитание для Г однозначно определяется вычитанием для . Действительно, на основании (33.29) имеем для полной вершинной функции

Требуя, чтобы эта связь имела место и для регуляризованных функций, т. е. чтобы выполнялось соотношение

получаем, что вычитаемая константа

— в соответствии с (44) будет равна

Нам осталось определить еще операцию вычитания для собственно-энергетической части фотона. Располагая, как обычно, центр разложения в точке имеем:

Это выражение, удовлетворяющее условиям

и

в силу свойства (51) не меняет полюса фотонной функции и в соответствии с (52) приводит к отсутствию радиационных поправок для внешних фотонных линий.

Более того, можно также показать, что выражение (50) обеспечивает совпадение постоянной в лагранжиане взаимодействия с наблюдаемым значением заряда электрона. В самом деле, добавим к правой части уравнения (50) выражение

нарушающее условие (52). Это выражение эквивалентно дополнительному введению в лагранжиан конечного члена типа так что постоянная с вызывает умножение заряда на Мы получаем, таким образом, возможность определить произвольную конечную постоянную с из условия совпадения с наблюдаемым значением заряда фермиона. Допуская, что это значение определяется в акте рассеяния фотона с нулевой энергией на фермионе, получим для описания этого процесса выражение

При вычислении (54) заметим, что согласно (49) и (44)

Покажем теперь, что

Для этого представим 2 в виде

Вычисляя входящую в (55) разность, находим

С учетом уравнений поля

и с помощью преобразования

убеждаемся в справедливости (56).

С учетом перенормировки получаем окончательно

откуда следует, что условие совпадения в с экспериментальным значением заряда имеет вид

Таким образом, формула (50) действительно обеспечивает как отсутствие радиационных поправок для внешних фотонных линий, так и равенство наблюдаемому значению заряда электрона.