17.2. Теорема Вика для обычных произведений.

Рассмотрим прежде всего случай когда мы имеем произведение двух линейных операторов . В этом случае для приведения к нормальной форме, очевидно, достаточна одна передвижка операторов и и потому в результате получатся члены с «правильным порядком» следования положительно- и отрицательночастотных частей волновых функций и член от перестановочных функций, уже не включающий операторных выражений.

Таким образом, рассматриваемое произведение может отличаться от нормального произведения

лишь на с-выражение, которое будем называть спариванием и обозначать с помощью скобок снизу:

Поскольку вакуумное среднее от нормального произведения всегда равно нулю, мы можем также определить спаривание как вакуумное среднее от обычного произведения:

Рассмотрим в качестве примера вещественное скалярное поле. Исходя из перестановочных соотношений

имеем, как обычно,

ввиду чего получим:

или, по определению нормального произведения,

Таким образом,

Аналогично для случая электромагнитного поля найдем:

Рассмотрим еще поле фермионов, для которого

Тогда

или

и потому

Таким же образом можем убедиться, что

Ввиду того, что всегда антикоммутируется , получим, кроме того,

Чтобы сформулировать теорему Вика, необходимо ввести еще понятие нормального произведения со спариваниями.

Как уже говорилось в § 10, нормальное произведение можно определить как результат приведения к нормальнойформе обычного произведения если в процессе приведения считать квантованные волновые функции точно коммутирующими или антикоммутирующими, приписывая нулевое значение всем появляющимся перестановочным функциям. Отсюда непосредственно следует, что при перемене мест сомножителей под знаком нормального произведения может изменяться только его знак:

где — четность перестановки, которой подвергались между собой ферми-операторы при переходе от первоначального порядка следования сомножителей к порядку

Ясно, что по отношению к каждому своему сомножителю нормальное произведение обладает свойством линейности:

где а и b — произвольные комплексные с-числа.

Введем теперь нормальное произведение со спариванием, положив, по определению,

где — четность ферми-перестановок при переходе от порядка

к порядку

Совершенно аналогично определим и нормальное произведение с любым числом спариваний: например,

будем считать равным произведению всех спариваний с нормальным произведением оставшихся иеспареиными операторов и с числом

где — четность перестановок, которым подвергаются ферми-операторы в процессе вынесения спариваний за знак нормального произведения.

Так, например,

Из этого определения вытекает сразу же, что нормальное произведение со спариваниями обладает свойством линейности по отношению к своим сомножителям и что при их перестановке под знаком такого произведения без изменения спариваний и без изменения порядка следования спаренных операторов внутри дайной пары оно умножается на

Мы можем теперь дать простую формулировку теоремы Вика. Согласно этой теореме «обычное произведение линейных операторов равняется сумме всех соответствующих нормальных произведений со всевозможными спариваниями, включая и нормальное произведение без спариваний»:

Для доказательства нам понадобится следующая лемма: если — линейные операторы, то

Заметим, что справедливость этой леммы будет полностью установлена, как только мы докажем ее для частного случая, когда каждый из операторов является или оператором рождения, или оператором уничтожения. Действительно, в общем случае каждый из этих операторов мы можем представить в виде суммы операторов рождения и уничтожения. Воспользовавшись свойством линейности рассматриваемых произведений по отношению к своим сомножителям, мы представим их в виде сумм произведений операторов рождения и уничтожения, т. е. произведений, соответствующих вышеупомянутому частному случаю. Поэтому из правильности леммы в этом случае вытекает ее правильность и для общего случая.

Заметим еще, что случай, когда В есть оператор уничтожения, тривиален. В самом деле, тогда в выражении

оператор В стоит уже на «правильном» месте, так что это выражение будет равно

Кроме того, поскольку В есть оператор уничтожения, то

Таким образом, остается рассмотреть лишь случай, когда В является оператором рождения. Но тогда, если некоторые из операторов A j являются операторами рождения, мы можем выиести их слева за знаки нормальных произведений; их спаривания с В равны нулю, так что под знаками нормальных произведений среди сохраняются только операторы уничтожения. Поэтов для доказательства сформулированной выше леммы остается доказать ее лишь в случае, когда все являются операторами уничтожения, оператор рождения.

Поскольку при справедливость этой леммы непосредственно вытекает из определения спаривания

мы можем воспользоваться для ее доказательства, методом индукции.

Пусть лемма справедлива для некоторого числа операторов . Тогда, умножая равенство (18) слева на некоторый оператор уничтожения получим:

Но входящий в выражение единственный оператор рождения В спарен, и потому оно равно с-числу, умноженному на нормальное произведение одних операторов уничтожения. С другой стороны, нормальное произведение

одних операторов уничтожения совпадает с их обычным произведением. Поэтому

Перейдем теперь к анализу первого члена в правой части равенства (19). Имеем:

гдер — четность ферми-перестановок при переводе В из крайнего правого в крайнее левое положение. Отсюда находим:

где — четность ферми-перестановок при перемене мест .

С другой стороны, поскольку В есть оператор рождения, а все остальные — операторы уничтожения, то

Имеем, следовательно,

откуда получим ввиду (20) и (19)

Таким образом, предполагая справедливость равенства (18) для случая, когда число операторов А равно , мы установили его правильность и для случая, когда это число равняется . Доказательство леммы тем самым закончено.

Заметим еще, что эта лемма непосредственно обобщается и на случай нормальных произведений с любым числом спариваний. В самом деле, поскольку нормальное произведение со спариваниями всегда равно произведению спариваний на и на нормальное произведение операторов, оставшихся неспаренными, мы видим, что в равенстве (18) можно взять вместо «чистого» нормального произведения операторов А их нормальное произведение с произвольным числом спариваний.

Теперь приступим к доказательству самой теоремы Вика. Ясно, что эта теорема правильна для Воспользуемся поэтому методом индукции. Предположим, что равенство (17), выражающее теорему Вика, верно для случая произведения п операторов А, и докажем его в случае произведения линейных операторов. Умножим для этого равенство (17) справа на некоторый линейный оператор . Мы выразим тогда обычное произведение операторов в виде суммы всех нормальных произведений операторов со всевозможными спариваниями между ними, умноженных справа, в обычном смысле, на (Подчеркнем, что в число членов со всевозможными спариваниями включен также член с нулевым числом спариваний.)

Но по доказанной обобщенной лемме нормальное произведение операторов с любым данным числом спариваний между ними, умноженное справа в обычном смысле на равно сумме нормальных произведений операторов в которой, кроме имевшихся уже спариваний между учитываются еще возможные (в том числе и нулевое) спаривания свободных Тем самым мы убеждаемся, что обычное произведение линейных операторов представляется суммой их нормальных произведений со всевозможными спариваниями. Доказательство теоремы Вика, таким образом, закончено.

Нетрудно видеть, что эта теорема приложима и к случаю, когда некоторые из сомножителей входят со знаками нормальных произведений

В этом случае теорема Вика доказывается точно так же, как и для «чистого» произведения с тем очевидным отличием, что теперь не надо принимать во внимание спариваний между множителями, принадлежащими в (21) к одному и тому же нормальному произведению. Например, не должны учитываться спаривания между спаривания между и т. д.

Чтобы проиллюстрировать приложение теоремы Вика в ее общей форме, рассмотрим произведения токов спинорного поля

Имеем:

откуда на основании формул для спариваний (14), (15) найдем:

Подставив это выражение в (22) и выполнив суммирование по спинорным индексам, получим окончательно:

Из этого выражения следует также формула для коммутатора свободных токов:

С помощью теоремы Вика мы получаем возможность почти автоматически приводить обычные произведения операторов к сумме нормальных произведений, умноженных на с-числа. На этом этапе и следует заканчивать приведение к нормальной форме, поскольку записывать сами нормальные произведения в раскрытой нормальной форме, вообще говоря, нецелесообразно. Именно, представление операторов с помощью линейных комбинаций из нормальных произведений можно рассматривать как наиболее удобный способ записи их представления в нормальной форме. Например, короче написать

нежели в развернутом виде

не говоря уже о случаях произведений большого числа сомножителей.

Вычисления же с нормальными произведениями, как мы видели, производятся весьма просто. Пусть, например, требуется определить матричный элемент типа

Заметим, что согласно теореме Вика произведение

равно сумме соответствующих нормальных произведений со всевозможными спариваниями: . С другой стороны, вакуумное среднее такого нормального произведения, в котором содержится хотя бы один неспаренный оператор, равно нулю. Мы видим поэтому, что матричный элемент (24) состоит из суммы только тех нормальных произведений, в которых спарены все операторы. Он будет представляться, следовательно, суммой членов типа