33.2. Градиентная инвариантность матрицы рассеяния.

Заметим, однако, что до сих пор не принималось во внимание требование градиентной инвариантности. Чтобы сформулировать это требование, рассмотрим сначала бесконечно малое градиентное преобразование потенциалов электромагнитного поля

где f — произвольная бесконечно малая функция. При этом преобразовании член порядка матрицы рассеяния

с учетом линейной зависимости от потенциалов с различными аргументами, получит приращение

Интегрируя это выражение по частям, находим, что оно обращается в нуль, если тождественно

Нетрудно убедиться, что если выполняется это условие, выражение (11) не будет меняться и при конечном градиентном преобразовании. Это обусловлено тем, что коэффициенты при старших степенях в приращении подынтегрального выражения можно записать через производные по от (12).

Исходя из указанных соображений, мы примем в качестве условия градиентной инвариантности теории условие (12). Ниже мы увидим (глава VII), что, кроме инвариантности S (1), это условие обеспечивает также выполнение дифференциального закона сохранения электрического тока.

Проанализируем теперь степень произвола в выборе коэффициентов в выражениях остающуюся после наложения условия градиентной инвариантности в форме (12). Рассмотрим, например, вершинную часть операторной функции

Для выполнения условия градиентной инвариантности эта величина должна удовлетворять соотношению

Сравнивая с (7), мы видим, что функция определена с точностью до члена

При этом ясно, что введение соответствует изменению коэффициента . Однако нетрудно заметить, что если вершинная часть (13) удовлетворяет условию (12), то при добавлении к члена (14) она это свойство теряет, так как

Поэтому, если квазилокальные операторы (7) подобраны так, что результат вычитательной процедуры градиентно-инвариантен, то этот выбор вполне однозначен, т. е. неопределенность устраняется требованием градиентной инвариантности.

Совершенно аналогично можно убедиться в однозначности коэффициентов в выражениях (6) и в выражениях (8). Ясно также, что выражения (9), не содержащие потенциалов электромагнитного поля, допускают произвол в выборе коэффициентов

Рассмотрим еще неоднозначность операторных выражений типа

по отношению к членам с той же структурой, что и члены с коэффициентами в выражении (8). Подставляя такой член

в условие (12), с учетом свойств производной -функции

находим соотношение между

оставляющее одну степень произвола в выборе этих коэффициентов, Таким образом, для каждого имеются три неоднозначные константы и, например, но в контрчленах лагранжиана неоднозначными оказываются всего лишь три числа (ср. (21.44)):

В дальнейшем мы увидим, что эти три числа входят в результаты лишь в двух комбинациях и неоднозначность полностью устраняется выбором массы и заряда спинорной частицы.

Теперь необходимо показать, что подбором соответствующих контрчленов действительно можно получить градиентно-инвариантную теорию. Как известно, контрчлены лагранжиана служат для

описания того или иного вычитательного процесса, используемого в теории. Напомним, что принятая нами вычитательная процедура состоит в вычитании из расходящегося выражения достаточного числа членов его ряда Маклорена с центром разложения в точке и добавлении к результату произвольного конечного полинома определенной степени. На основании только что полученных результатов этот произвол сводится к двум константам в членах типа (9) и одной константе в членах типа (8). Покажем, что в результате такого способа устранения расходимостей получаемая теория градиентно-инвариантна.

В доказательстве используем следующий вариант регуляризации с помощью вспомогательных масс. Фотонные причинные функции (24.3) регуляризуем обычным образом (см. (27.4)), а спинорные причинные функции будем регуляризовать не по отдельности, а заменяя их произведения, соответствующие замкнутым циклам:

выражениями

где — причинная фермионная функция с массой

Указанный способ регуляризации спинорных причинных функций представляет собой один из вариантов регуляризации Паули—Вилларса (1949).

Заметим в этой связи, что согласно общим свойствам регуляризуемых выражении, установленным в главе V, изменение способа вспомогательной регуляризации не влияет на общую структуру окончательных регуляризованных выражений, которые являются коэффициентными функциями операторов определяющих не содержащую бесконечностей матрицу рассеяния.

Покажем теперь, что регуляризация по Паули—Вилларсу устраняет расходимости из матричных элементов, соответствующих замкнутым циклам. Рассмотрим для этого результат интеграции выражения (16), записанный в импульсном представлении:

Подынтегральное выражение при больших ведет себя, как и при интеграл расходится как

Замечаем, что при больших подынтегральное выражение в (19)

( — полином степени по ) может быть представлено в виде степенного ряда по причем степень роста по при коэффициента при в степени k равна Ясно поэтому, что если коэффициенты См в сумме (17) удовлетворяют k соотношениям типа

то подынтегральное выражение, соответствующее (17), при ведет себя, как и процедура Паули—Вилларса регуляризует рассматриваемые выражения вместе с их первыми производными по Это свойство процедуры Паули—Вилларса можно было бы также непосредственно установить, переходя к -представлению» причинных функций.

Таким образом, мы будем вводить вспомогательные массы лишь в фотонные линии и замкнутые спинорные циклы. Незамкнутые спинорные циклы мы вообще не будем подвергать регуляризации. Легко видеть, что в фотонные функции достаточно ввести одну вспомогательную массу, а в замкнутые спинорные циклы — две. Действительно, максимальная степень расходимости диаграмм с замкнутыми спинорными циклами равна двум (диаграммы типа рис. 35, в) а введение двух вспомогательных масс снижает степень на четыре. В результате этой процедуры интеграл при будет сходиться как

С другой стороны, максимальная степень расходимости диаграмм с внутренними фотонными линиями равна единице (диаграммы типа рис. 35, г). Введение в фотонную функцию одной вспомогательной массы снижает степень расходимости на два и интеграл становится сходящимся, как

Необходимости в регуляризации незамкнутых спинорных циклов, таким образом, не возникает. Мы видим отсюда, что при конечных значениях вспомогательных масс М, - все матричные элементы оказываются сходящимися.

Напомним, однако, что регуляризация методом вспомогательных масс является лишь техническим приемом, проводимым на промежуточной стадии рассуждений, и что фактическое устранение

расходимостей производится путем вычитательной процедуры. Поэтому к полученному регуляризованному выражению для матрицы рассеяния мы применим теперь обычную процедуру вычитания ряда Маклорена в импульсном представлении при одновременном добавлении трех произвольных конечных констант. Ввиду установленной ранее инвариантности результатов такого вычитания относительно способа введения вспомогательных масс нам остается лишь установить градиентную инвариантность регуляризации Паули—Вилларса и следующей за ней процедуры вычитания.

Рис. 36. Процесс вставки -вершины.

Докажем градиентную инвариантность регуляризованной матрицы S (1) до применения к ней вычитательной процедуры. При этом мы воспользуемся тем обстоятельством, что совокупность диаграмм порядка внешними фотонными линиями может быть получена из диаграмм порядка с внешними фотонными линиями посредством вставки дополнительной вершины I в любую внешнюю или внутреннюю спинорную линию. Процесс вставки (который для краткости будем именовать -процессом) одновременно устанавливает графическое соответствие между выражениями

Рассмотрим сначала -процесс для внутренней спинорной линии. Вставляя -вершину в линию получим рис. 36. Вычисляя дивергенцию (12) по i от фактора

находим, пользуясь уравнениями для

-процесс для внутренних линий сложного фермионного цикла может быть представлен схемой рис. 37. Находя дивергенцию от суммы членов, соответствующих правой части схемы, с помощью (20) без труда убеждаемся, что она пропорциональна члену, отвечающему диаграмме в левой части схемы, с множителем пропорциональности, равным

Отсюда следует, что указанная дивергенция обращается в нуль для замкнутых циклов

Рис. 37. g-процесс для внутренних линий фермионного цикла.

Применяя это рассуждение к более сложным диаграммам, состоящим из внутренних фотонных линий и произвольного числа замкнутых и незамкнутых фермионных циклов, приходим к соотношению

где суммирования распространяются на все вершины диаграммы, в которые входят и из которых выходят — внешние фермионные линии; здесь — коэффициентная функция порядка, — полученная из нее -процессом коэффициентная функция порядка.

Рис. 38. g-процесс для внешних фермионных линий.

Для завершения доказательства рассмотрим еще -процесс для внешних (входящей и выходящей) фермионных линий (рис. 38). Вычисляя соответствующие дивергенции, находим:

Сравнивая эти выражения с (22), убеждаемся, что действительно удовлетворяют условию градиентной инвариантности (12). В самом деле, по только что доказанному, дивергенция факторов, описывающих замкнутые циклы, равна нулю. Дивергенция же оператора соответствующего незамкнутому циклу, слагается из дивергенции суммы -вставок в коэффициентную функцию и вставок во внешние линии и также обращается в нуль, поскольку (24) компенсирует первый, второй член в (21).

Этим формально доказана градиентная инвариантность матрицы S (1) до процесса регуляризации. Заметим, однако, что регуляризации по Паули—Вилларсу подвергаются лишь замкнутые фермионные циклы, причем в каждом из дополнительных членов в выражениях (17) для всех причинных функций масса имеет одинаковое значение. Поэтому указанные дополнительные члены после -процесса обладают также нулевой дивергенцией, и мы приходим к выводу, что и после применения процедуры Паули—Вилларса регуляризованная матрица S (1) удовлетворяет условию градиентной инвариантности. Отметим здесь, что указанное свойство сохранения градиентной инвариантности является важным преимуществом регуляризации по Паули—Вилларсу, которое мы и имели в виду, отступив от принятого нами ранее способа введения вспомогательных масс.

Подчеркнем, что формула (22) может рассматриваться как условие градиентной инвариантности для коэффициентных функций. В самом деле, мы только что убедились, что, (22) является достаточным для выполнения условия градиентной инвариантности матрицы рассеяния (12). Формулу (22) полезно переписать в импульсном представлении, переход к которому мы произведем, явно учитывая трансляционную инвариантность

Получаем вместо

Формула (27) представляет собой условие градиентной инвариантности коэффициентных функций в импульсном представлении. Среди аргументов в (27), так же как и среди аргументов в (22), существенными являются только те, которые соответствуют

внешним линиям. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно подставить К, в и выполнить интегрирование по всем соответствующим внутренним вершинам диаграммы.