15.3. Причинные функции Грина различных полей.

Из (13) следует, что для того, чтобы функция вида (3) обладала свойством «причинности», достаточно считать, что квадрат массы в знаменателе ее импульсного представления содержит бесконечно малую отрицательную мнимую добавку.

Вспоминая теперь, что согласно (1) перестановочные функции электромагнитного, спинорного и векторного полей отличаются от функции Паули — Йордана лишь дифференциальными операторами, положим, по определению, что причинные функции указанных полей отличаются от теми же операторами, т. е.

Определенные таким способом причинные функции могут быть подобно функции выражены через вакуумные средние от хронологических произведений операторов соответствующих полей:

Формулы (19), (20) являются очевидными следствиями соотношений (1), а для доказательства (21) воспользуемся антикоммутаторами спинорного поля (13.2), (13.3). Этим путем получаем:

что ввиду (17) эквивалентно (21).

Ясно также, что, заменяя в знаменателях (16) — (18) на мы получим выражения, которые обращаются в нуль при и поэтому представляют запаздывающие функции Грина соответствующих полей

Отметим, что при выражении функций Грина различных полей через пере становочные функции с помощью соотношении типа (8), (9), (12) следует соблюдать известную осторожность. Так, например, причинную функцию векторного

поля по аналогии с (12) можно было бы записать в виде

где

Однако прямое вычисление выражения (22), которое выполняется просто посредством интегрального представления -функции:

приводит к выражению

отличающемуся от в окрестности точки Такой результат является следствием фактической неопределенности выражения (22) в бесконечно малой окрестности точки

Эту неопределенность в причинной функции можно особенно легко заметить, представив ее в форме

Действительно, выражение (23) в соответствии с (14) однозначно определено при и при Ясен также его смысл при , поскольку при этом (23) можно записать либо в форме

либо в форме

ввиду того, что при (см. анализ свойств D- и -функций в § 16) операторы коммутируют:

и обе формы равны друг другу. Однако смысл выражения (14) при совпадении аргументов совершенно неясен. Отсюда вытекает, что Т-произведение не определено в точке и что, используя различные способы его построения, можно получить выражения, отличающиеся друг от друга на члены, пропорциональные и ее производным.

С этим обстоятельством мы еще встретимся в теории взаимодействующих полей (глава IV), где оно будет рассмотрено более детально. Пока же для устранения каких-либо неопределенностей мы условимся определить хронологические произведения операторов ноля не выражениями типа (22), а с помощью формул типа (16) — (18), в виде функций Грина неоднородных уравнений соответствующих полей:

Вид правой части последнего уравнения обусловлен требованием совместности причинной функции векторного поля с дополнительным условием

Аналогичные соотношения между перестановочными и причинными функциями могут быть установлены и для произвольного поля. Для их вывода удобно исходить из уравнений поля, записанных в форме Кеммера (см. § 4.4):

Составляя обычным образом лагранжиан и с его помощью затем 4-вектор энергии-импульса, можно получить методом, указанным в § 10, перестановочные функции поля Для получится выражение вида

где — некоторый полином по компонентам

Повторяя рассуждения данного параграфа, выражение для причинной функции получим в форме

с тем же самым полиномом .

В связи с неопределенностью при совпадении аргументов возникает возможность различных вариантов определения операции хронологического упорядочения от производных полей. Во-первых, производные можно перенести в коэффициентные функции и упорядочивать полевые функции до дифференцирования. Во-вторых, можно сначала перенести производные на поля, а затем упорядочивать произведение производных от полей. Первая операция часто называется виковым хронологическим произведением и обозначается символом . Вторая операция именуется дайсоновым хронологическим произведением и обозначается через Различие между явно выступает в процессе приведения хронологического произведения к нормальной форме и сказывается на хронологических спариваниях, входящих в коэффициентные функции. В случае «основным» спариванием является функция , которая дифференцируется целиком, т. е. например,

Во втором случае используется представление (12) для через частотные функции которые и дифференцируются: