36.3. Псевдоскалярная модель мезон-нуклонного взаимодействия.

В качестве третьей модели сильных взаимодействий рассмотрим псевдоскалярную теорию мезон-нуклонного взаимодействия, т. е. теорию взаимодействия псевдоскалярного мезонного и спинорного нуклонного полей. Лагранжиан взаимодействия выберем в псевдоскалярном варианте, не содержащем производных (типа (8.4)). Такая модель мезон-нуклонного взаимодействия иногда называется псевдоскалярной юкавской.

При этом мы остановимся на так называемом симметричном варианте, приводящем к ядерным силам, симметричным относительно электрического заряда (например, к одинаковым матричным

элементам рассеяния протон—протон и нейтрон—нейтрон). Математическое описание симметричной псевдоскалярной теории наиболее просто проводится в рамках изотопического формализма (см. Приложение 1)

Лагранжиан взаимодействия, инвариантный относительно «вращений в изотопическом пространстве», имеет вид

Постоянная g играет роль константы связи и называется мезонньш зарядом.

Заметим также, что для простоты иногда рассматривают так называемую «нейтральную модель» псевдоскалярной теории с лагранжианом

Здесь — четырехкомпонентные спиноры, — действительная однокомпонентная функция. Нейтральная модель отличается от симметричной отсутствием изотопической алгебры и в то же время сохраняет основные элементы ее структуры. В дальнейшем для краткости мы будем иногда объединять (8.8) и (39) в виде

не конкретизируя структуру вершинной матрицы Г.

Переходя к анализу расходящихся диаграмм, заметим, что элементарные спаривания имеют вид

где — единичная матрица восьмого порядка, а — матрицы восьмого порядка, связанные с обычными матрицами Дирака четвертого порядка соотношениями

Наконец, — массы нуклона и -мезона соответственно.

Для нас в данном случае является существенным то, что в соответствии с (41) и (42) степень полинома Р в числителе причинной функции для мезонной линии равна нулю, а для нуклонной линии — единице. Поэтому максимальный индекс вершины

оказывается равным нулю, а лагранжиан (40) относится к ренормируемому типу.

Переходя к классификации расходящихся диаграмм, заметим, что положение здесь в значительной мере напоминает спинорную электродинамику, отличаясь от нее лишь в следующих пунктах:

а) масса мезонов отлична от нуля, что приводит к отсутствию градиентной инвариантности;

б) мезонные функции образуют изотопический 3-вектор, а не обычный 4-вектор, как для электромагнитного поля;

в) структура вершинной матрицы Г отличается от 4-вектора матриц Дирака .

Ввиду этого часть результатов рассмотрения, проведенного для спинорной электродинамики в §§ 33 и 34, может быть непосредственно перенесена на псевдоскалярную мезонную теорию.

Так, с учетом теоремы Фарри приходим к типам расходящихся диаграмм, изображенным на рис. 50.

Рис. 50. Типы расходящихся диаграмм в модели (36.40).

При этом ввиду отсутствия соображений градиентной инвариантности диаграмма с четырьмя бозонными внешними линиями (рис. 50, а) в отличие от спинорной электродинамики приводит к расходимости, для компенсации которой приходится вводить особый «четырехмезонный» контрчлен вида , а для вычитания расходимостей, связанных с диаграммой собственной энергии мезона (рис. 50, в), кроме контрчлена контрчлен собственной массы мезона

В итоге получаем полный лагранжиан взаимодействия в виде