§ 4. Векторное поле

4.1. Лагранжиан, дополнительное условие и инварианты.

Функция, описывающая векторное поле, состоит из четырех компонент , которые в совокупности образуют ковариантный 4-вектор, т. е. при лоренцевых преобразованиях поворота

преобразуются по формулам

Простейшая возможность обобщения на векторное поле форма лизма, развитого в предыдущем параграфе, состоит в выборе лагранжиана векторного поля в форме (для простоты мы пока будем рассматривать действительное векторное поле)

т. е. в виде ковариантной суммы четырех «лагранжианов», по отдельности соответствующих компонентам . Такой лагранжиан, очевидно, приводит к уравнениям Клейна — Гордона для каждой из компонент и к динамическим переменным, являющимся ковариантными суммами соответствующих выражений для скалярного поля. Легко видеть, однако, что такая формулировка приводит также к отрицательным членам в выражении для энергии, соответствующим компоненте . Выход из этой ситуации заключается в наложении на компоненты инвариантного дополнительного условия

Это условие является единственным возможным инвариантным условием, линейным по функциям поля.

Оно уменьшает количество линейно независимых компонент с четырех до трех и, как будет показано ниже, обеспечивает положительную определенность энергии векторного поля. Остающиеся три независимые компоненты соответствуют трем возможным значениям проекции спина на заданную ось, равным соответственно 1, 0, —1, т. е. описывают частицы со спином единица. Наложение дополнительного условия (3) соответствует исключению частицы со спином нуль, приводящей в этой формулировке к отрицательной энергии.

Поэтому при изложении теории векторного поля иногда (Вентцель (1942), стр. 94, Паули (1941), стр. 33) выбирают форму лагранжиана таким образом, чтобы, кроме уравнений поля, также автоматически обеспечить выполнение дополнительного условия (3). Отсылая читателя за подробными выкладками к цитированной литературе, укажем здесь, что такая программа может быть основана на следующем лагранжиане:

который отличается от (2) членом

Произвол в выборе лагранжиана связан, как видно, с возможностью построения нескольких различных инвариантов из производных первого порядка от компонент вектора.

Такой же произвол возникает и при выборе лагранжиана для электромагнитного поля, также описываемого векторным потенциалом. В теории электромагнитного поля из-за равенства нулю массы не удается, однако, построить формализм так, чтобы автоматически обеспечить выполнение дополнительного условия (3). Поэтому в классической теории обычно обеспечивают выполнение условия (3) путем соответствующего градиентного преобразования (см. § 5). Однако при квантовании электромагнитного поля (см. главу II, § 12) не удается удовлетворить условию (3) как функциональному соотношению между компонентами квантованного потенциала, так как оно оказывается несовместным с перестановочными соотношениями. Поэтому приходится накладывать на допустимые состояния некоторые условия, эквивалентные выполнению условия (3) лишь для средних значений.

Таким образом, в теории электромагнитного поля наложение дополнительного условия производится независимо от лагранжева формализма. Представляется поэтому естественным и в векторном поле не связывать дополнительное условие (3) с лагранжевым формализмом. Можно, например, использовать лагранжиан типа (2), накладывая условие (3) независимо от него.

Здесь возникает вопрос о структуре неоднозначности в лагранжиане и о влиянии этой неоднозначности на динамические переменные. Заметим в этой связи, что действие, соответствующее разности (5) двух выписанных лагранжианов, после интегрирования по частям с учетом условия (3) обращается в нуль и, следовательно, действия, соответствующие лагранжианам (2) и (4), совпадают. Лагранжианы (2) и (4) приводят к различным тензорам энергии-импульса, момента и т. д. Однако разности этих величин с учетом дополнительного условия и уравнений поля могут быть представлены в виде соответствующих дивергенций, в результате чего динамические

переменные типа вектора энергии-импульса оказываются равными друг другу. Этого будет достаточно, так как в соответствии с замечанием, сделанным в § 2, вопрос однозначного определения величин типа тензора энергии-импульса выходит за рамки рассматриваемого круга вопросов.

Заметим, что при переходе к системе взаимодействующих полей лагранжианы (2) и (4) могут приводить к неэквивалентным теориям. Такой случай, например, имеет место для заряженного векторного поля, взаимодействующего с электромагнитным.

Переходя к построению лагранжева формализма векторного поля, заметим, что в соответствии с общими свойствами действительное векторное поле описывает нейтральные частицы, а комплексное поле — заряженные. Для краткости мы ограничим наше рассмотрение комплексным векторным полем, имея при этом в виду, что соответствующие выкладки для действительного поля приводят к существенно отличным результатам лишь при вычислении тока и за ряд .

На основании вышеизложенного лагранжиан векторного поля выберем в виде

и независимо от него наложим дополнительные условия на U и b:

Из лагранжиана (6) с помощью формул § 2 находим уравнения поля

тензор энергии-импульса

вектор тока

и тензор спинового момента

Полагая в получаем пространственную плотность 4-вектора энергии-импульса

    (10)

Подобным образом, исходя из формул (8) и (9), приходим к плотности заряда

и к пространственным плотностям компонент вектора спина