28.2. Выделение расходимости из Г и градиентная инвариантность.

Таким образом, может быть представлена в виде суммы

где

а второй член в пределе больших М сходится к конечному пределу, равному

Переходя к конфигурационному представлению, получаем соответственно

причем в пределе второе слагаемое сходится к интегрируемой функции фурье-образ которой определяется выражением (7).

Разбиение (6), конечно, не является однозначным. В данном случае оно выбрано так, чтобы

Степень неоднозначности определяется структурой сингулярного члена. К выражению (7) поэтому может быть прибавлена постоянная, пропорциональная матрице Эта константа, однако, не

является произвольной и определяется условием градиентной инвариантности.

Рассмотрим это условие применительно к членам третьего порядка матрицы рассеяния. Эти члены могут быть разбиты на две группы. В одну войдут члены, содержащие три оператора электромагнитного поля и не содержащие электромагнитных спариваний , а в другую — выражения, содержащие один оператор А и одно спаривание Члены первой группы соответствуют диаграммам, приведенным на рис. 22. Члены, соответствующие диаграммам рис. являются нормальными произведениями членов низшего порядка и потому явным образом градиентно-инвариантны. Член, соответствующий рис. 22, г, равен нулю по теореме Фарри и, наконец, градиентная инвариантность члена, соответствующего рис. 22, д, может быть установлена непосредственным вычислением.

Рис. 22.

Сумма членов второй группы, содержащих расходимости собственно третьего порядка, может быть записана в виде

Требование градиентной инвариантности накладывает на каждое из слагаемых этого выражения условия вида

которые ввиду произвольности функции дают:

Обратимся к структуре функции . Эта функция содержит члены, соответствующие четырем диаграммам (рис. 23) и еще четырем диаграммам, отличающимся от приведенных перестановкой точек z и у.

Заметим, во-первых, что члены соответствующие диаграмме рис. 23, г,

после устранения расходимостей в силу условия (27.28) дают автоматически

Поэтому остается рассмотреть лишь члены соответствующие трем первым диаграммам рис. 23:

Формально дифференцируя их по и суммируя с учетом уравнений

получаем:

Таким образом, члены -матрицы, соответствующие диаграммам рис. 23, а, б, в, в сумме действительно градиентно-инвариантны

Рис. 23.

Проведенная нами проверка условия (10) носила чисто формальный характер, поскольку каждый из членов выражения (11) в действительности расходится. По существу необходимо проверить условие градиентной инвариантности его конечной части, которая и войдет в матричный элемент после компенсации сингулярной части. Для удобства проверки целесообразно воспользоваться сначала методом регуляризации Фейнмана, а затем уже перейти к принятому нами способу регуляризации. Регуляризуя поэтому лишь

одну фотонную функцию

получаем выражение

которое в целом явно удовлетворяет условию (10), так как дифференцируемые сомножители

здесь не меняются.

Сингулярная часть (13) при с учетом разложений

представляется в виде

Дифференцируя эту комбинацию по и суммируя по , с учетом уравнений (12) приходим к выражению