37.2. Источники и производящие функционалы.

Для того чтобы связать между собой различные функции Грина, а также ввести сильно-связные функции Грина, воспользуемся, следуя Швингеру (1949а), общим приемом введения производящего функционала. С этой целью добавим в лагранжиан рассматриваемой системы вспомогательные слагаемые, линейные по операторам поля

Неоператорные коэффициенты У принято именовать «классическими токами» — источниками полей Такое название исторически связано с тем, что для случая электромагнитного поля член в лагранжиане

в точности соответствует взаимодействию с заданным внешним электромагнитным током . В общем случае это наименование довольно условно.

В результате операции (8) матрица рассеяния S, ее вакуумное ожидание а также и определенные выше функции Грина начинают функционально зависеть от Они становятся функционалами токов. Подчеркнем, что введение классических токов J является вспомогательным математическим приемом и совсем не обязательно предполагает фактическое наличие внешних токов и зарядов. Функции , в сущности, являются вспомогательными объектами, (до некоторой степени аналогичными функции из главы IV), позволяющими перейти к функциональной формулировке уравнений для различных функций Грина и связей между ними. В том случае, когда реальных внешних токов нет, на заключительном этапе рассуждений или вычислений функции будут полагаться равными нулю.

В статистической механике производящий функционал (а также его экспоненциальное представление) впервые был определен Боголюбовым (1946, 1947)

путем введения вспомогательных классических функций в сумму состояний Z. Многочастичные функции распределения были выражены через нариационные производные от по

Рассмотрим прежде всего вакуумное ожидание матрицы рассеяния в присутствии токов

Здесь введена сокращенная запись

Выражение (9) представимо в виде функционального ряда по степеням J:

Коэффициенты могут быть выражены через функциональные производные

при , т. е.

Таким образом, является производящим функционалом для вакуумных ожиданий (1).

Отдельно рассмотрим процедуру введения источников для полей с полуцелым спином:

Ввиду антикоммутативности фермиевских полевых операторов соответствующие функции источников также следует считать антикоммутирующими объектами, удовлетворяющими перестановочным соотношениям

Эти соотношения лишь последней строкой отличаются от фермиевских перестановочных соотношений. Классические антикоммутирующие поля можно рассматривать как образующие грассмановой алгебры. (Более подробное изложение математических аспектов

этого вопроса содержится в книге Березина (1965).) Коммутационные соотношения (15) будем называть грассмановыми перестановочными соотношениями, величины для краткости — ферми-источниками.

Удобно также положить, что источники полностью антикоммутируют с квантованными ферми-полями

При введении вариационных производных по ферми-источникам нужно учитывать их антикоммутативность. Здесь следует также различать левые и правые вариационные производные. Левую (правую) вариационную производную функционала по антикоммутирующему ферми-источнику определим как коэффициент в главной части приращения при приращении аргумента вынесенном налево (направо). Обозначая левую производную символом , а правую — имеем по определению

При этом, например, левая вариационная производная однородного полиноминального функционала F «степени» будет совпадать с правой при нечетных и будет отличаться знаком от правой производной для четного .

Для удобства ниже всегда будем работать только с левыми производными. Обозначим поэтому

Антикоммутативность полей приводит к антикоммутативности операций вариационного дифференцирования друг с другом при многократном дифференцировании, например,

а также к антикоммутативности с ферми-полями и ферми-источниками. При дифференцировании произведения следует пользоваться формулой

где а — суммарная степень линейности функционала А по всем ферми-полям.

Введенные определения и отмеченные свойства позволяют получить формулы, аналогичные (12). Например,

и т. д. Ниже для общего анализа мы будем пользоваться формулой

(12), считая, что она описывает как бозе, так и ферми-поле и источники.