ГЛАВА IX. РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ГРУППА
§ 47. Группа мультипликативных ренормировок в квантовой теории поля
47.1. Введение.
Мы рассмотрим сейчас метод исследования асимптотических свойств функций Грина, основанный на существующей в квантовой теории поля группе ренормировочных преобразований, о которой упоминалось в главе VI. Суть дела сводится к следующему. Система взаимодействующих полей описывается полным лагранжианом X, который представляют в виде суммы свободного лагранжиана 
и лагранжиана взаимодействия 
Поля, соответствующие 
квантуют, затем переходят к представлению взаимодействия и с помощью 
строят теорию возмущений. При этом в перенормируемых теориях (после устранения бесконечностей) возникает конечный произвол, который можно фиксировать, добавив к 
контрчлены, по своей операторной структуре совпадающие с отдельными слагаемыми в 
(конечные перенормировки масс и операторов поля) и в 
(перенормировки констант связи).
Преобразования функций Грина и констант связи, связанные с этими конечными перенормировками, как было показано в § 34 и 36, обладают групповым свойством и образуют ренормализационную группу. Наличие ренормализационной группы накладывает своеобразные ограничения на структуру функций Грина и их зависимость от констант связи. Природа этих ограничений может быть проиллюстрирована следующим образом. Если полный лагранжиан X представить в виде
(причем 
— действительная постоянная), то выражения для функций Грина (и матричных элементов), построенные с помощью «нового» лагранжиана взаимодействия 
в отдельных порядках теории возмущений будут отличаться от выражений, полученных из (1). Однако полные выражения для физических величин должны совпа дать.
Таким образом, оказывается, что конечные суммы членов теории возмущений не обладают ренормализационной инвариантностью. Наложение требований инвариантности позволяет, исходя из конечного числа членов теории возмущений для функций Грина, получить
для этих функций выражения, которые, с одной стороны, являются ренормализационно инвариантными, а с другой стороны, при разложении в ряд по константам связи дают члены, совпадающие с исходными. Иными словами, в ряде важных случаев, исходя из нескольких первых членов теории возмущений, удается восстановить ведущие члены во всех высших порядках теории возмущений и получить выражения для их сумм.
Такая процедура частичного суммирования бесконечных рядов теории возмущений представляет интерес не только в случае сильных взаимодействий. Как мы уже имели случай убедиться на примере функций Грина квантовой электродинамики, в ультрафиолетовой области фактически параметром разложения является не квадрат заряда а, а его произведение на большой логарифм 
Аналогичная ситуация возникает в инфракрасной области.
Впервые существование группы ренормировочных преобразований в квантовой теории поля было отмечено Штюкельбергом и Петерманом (1953), которые также указали на возможность введения соответствующих инфинитезимальных операторов и тем самым на возможность построения дифференциальных уравнений Ли Вслед за тем Гелл-Манн и Лоу (1954) фактически воспользовались групповой структурой перенормировок 
спинорной электродинамике для получения информации об ультрафиолетовой асимптотике функции Грина фотона. Их подход был основан на схеме теории возмущений, использующей вариант обрезания в импульсном пространстве. Эти авторы, однако, явно не обратили внимания на групповую подоплеку использованной аргументации и полученного функционального уравнения.
В следующем году Боголюбов и Ширков (19556), используя групповой характер конечных мультипликативных перенормировок квантовополевых операторов и функций (т. е. конечных преобразований Дайсона), вывели функциональные уравнения для этих функций в общем случае (а не только в ультрафиолетовом пределе), установив тем самым идейную связь между работами Штюкельберга — Петермана и Гелл-Манна—Лоу. В этой работе было впервые введено понятие инвариантного заряда и конструктивно реализована общая идея Штюкельберга — Петермана о дифференциальных уравнениях Ли.
Дифференциальные групповые уравнения, впервые полученные в работе Боголюбова и Ширкова (19556) путем дифференцирования функциональных уравнений, суть уравнения эволюции инвариантного заряда и функций Грина по энергетической переменной (см. ниже уравнения (48.17), (48.20), (48.23), (49.16)). Как функциональные, так и интегральные уравнения были сформулированы здесь в терминах импульсов нормировок, т. е. параметров операции. Такой подход, формально не связанный с ультрафиолетовыми расходимостями, позволяет более ясно понять автомодельную сущность ренормгрупповых преобразований.
Третьим важным элементом работы Боголюбова и Ширкова (1955б) явилось предложение использовать полученные дифференциальные уравнения для нахождения таких ренормализационно инвариантных решений, которые удовлетворяли бы условию соответствия с обычной квантовополевой теорией возмущений. Для этого достаточно определять так называемые ренормгрупповые функции, входящие в правые части эволюционных дифференциальных уравнений, с помощью теории возмущений.
Эта программа была реализована в примыкающей публикации Боголюбова и Ширкова (1955в) на примере ультрафиолетовых и инфракрасных асимптотик квантовой электродинамики в одно-и двухпетлевом приближениях. При этом были впервые получены формулы ультрафиолетовых асимптотик в двухпетлевом приближении.
Вслед за тем Ширков (1955) дал обобщение основных функциональных и дифференциальных уравнений на случай модели с двумя константами связи («многозарядный» случай), а также указал метод анализа полученной системы с помощью аппарата качественной теории дифференциальных уравнений. Такой анализ двухзарядной пион-нуклонной модели в одноплетевом приближении был вслед за тем выполнен Гинзбургом (1956).
Тем самым в упомянутых работах Боголюбова и Ширкова (см. также суммирующую публикацию на английском языке — Боголюбов, Ширков (1956 б)) был сформулирован и успешно применен метод ренормализационной группы (т. е. регулярный метод улучшения аппроксимационных свойств квантовополевой теории возмущений путем решения надлежащих групповых дифференциальных уравнений), который в наши дни без существенных изменений используется во все возрастающем объеме на переднем крае исследований физики частиц и взаимодействий.
