44.2. Представления для функций Грина в виде континуальных бозе-интегралов.

Полученные формулы вида (9—11) содержат функциональные квадратуры как по бозе-, так и по ферми-полям. Выполняя (символически) континуальное интегрирование по ферми-полям, оказывается возможным получить для функций Грина выражения, которые можно рассматривать как формулы усреднения соответствующих функций Грина для частиц, движущихся в классическом внешнем поле по квантовым флуктуациям этого поля.

С этой целью заметим, что в числителях и знаменателях выражений (9—11) интегрирование по ферми-аргументам можно выполнить в первую очередь. Согласно (43.40) такое интегрирование сводится к усреднению по вакууму ферми-операторов

Здесь символом обозначена операциявычисления вакуумного ожидания только по ферми-операторам Бозе-аргументы считаются при этом классическими функциями.

При выполнении операции ферми-усреднения удобно задать явно зависимость лагранжиана взаимодействия от ферми-полей. Мы положим

Здесь Г — некоторая вершинная матрица, а К и М зависят только от бозе-поля (Более общий случай 4-фермионного взаимодействия фермиевского типа (8.13) также может быть включен в рассмотрение.)

Используя соотношение (12) в числителе и знаменателе выражения (10), находим, с учетом (13),

В то же время обычная функция Грина одного фермиона, взаимодействующего с классическим внешним полем с

имеет вид где

где

может быть вычислена в явном виде. Дифференцируя по g с учетом определения (15) находим

Здесь символ SP обозначает суммирование как по спинорным, так и по возможным бозонным индексам. Интегрируя полученное дифференциальное уравнение первого порядка с учетом граничного условия получаем

Используя формулы (15) и (17), можно преобразовать (14) к виду

т. е. представить функцию Грина одного фермиона, взаимодействующего с квантованным бозе-полем, как некоторое функциональное среднее от обычной функции Грина фермиона, взаимодействующего с классическим бозе-полем. Эффекты квантового самодействия бозе-поля, описываемые функцией , а также вакуумные флуктуации, отнесены здесь к мере интегрирования

Так, например, функция Грина электрона в спинорной электродинамике может быть записана в виде

где

Формулы, аналогичные (18), могут быть получены для других функций Грина. Так, например, бозонная функция Грина (9) представима в виде

С формальной точки зрения задача нахождения одночастичных квантово-полевых функций Грина G и сведена к определению функции Грина одного фермиона движущегося в классическом внешнем поле Здесь однако следует подчеркнуть, что если бы даже и удалось получить для замкнутое выражение в том или ином приближении, что представляет в общем случае

очень сложную задачу, то остаются еще функциональные квадратуры в (18), (20), (22), которые также не являются простыми. Тем не менее существует по крайней мере одна достаточно простая по математической структуре и физически важная модель, в которой формулы, полученные в этом разделе, могут быть эффективно использованы. Мы имеем в виду модель Блоха — Нордсика, рассматриваемую ниже в § 46. Как уже отмечалось ранее, возможности приложений метода континуального интегрирования серьезно ограничиваются тем обстоятельством, что техники вычислений функциональных квадратур практически не существует. Единственный вид континуальных интегралов, который мы можем вычислять, это гауссовы квадратуры, или приводящиеся к ним путем функциональной замены переменной интегрирования или путем вариационного дифференцирования по параметру.

Ввиду этих, пока не поддающихся решению, проблем, в течение длительного времени континуальные интегралы практически не использовались в работах по современной квантовой теории поля. Интерес к данному методу вновь возродился в конце 60-х годов, когда выяснилось, что он очень удобен для работы с калибровочными полями (см. § 8.2) в силу сингулярного характера соответствующих лагранжианов (см. § 11.4). С помощью метода континуального интегрирования было проведено квантование (Фаддеевым и Поповым (1967а, б)) и построена перенормировочная процедура в теории возмущений (Славновым, (1972а, б)) для полей Янга — Миллса. Удобство применения континуального интеграла здесь связано с тем, что он позволяет в компактном виде описать сложные комбинаторные выкладки. В частности, переход к другому базису совершается путем замены переменных интегрирования.

Ниже мы проиллюстрируем подобные возможности метода на примере простейшего абелева калибровочного поля — электромагнитного поля, взаимодействующего с фермионами. В рамках спинорной электродинамики будут получены обобщенные соотношения Уорда (полученные ранее по теории возмущений в § 33), а также исследована структура преобразований полных функций Грина при калибровочном преобразовании электромагнитных потенциалов.