28.3. Тождество Уорда.

Таким образом, для обеспечения градиентной инвариантности сингулярной части выражения (13) необходимо, чтобы

В силу градиентной инвариантности выражения (13) в целом при этом обеспечивается инвариантность его конечной части. Переходя затем к пределу после перестройки эффективного лагранжиана, мы получим для градиентно-инвариантное выражение, не содержащее бесконечностей. Тождество сингулярных констант (15),

обеспечивающее градиентную инвариантность, впервые было установлено в несколько более общей форме Уордом (1950) и известно под названием тождества Уорда.

Это тождество получено нами при регуляризации по Фейнману. Покажем, что оно имеет место и при обычно используемом нами способе регуляризации. Для этого, обозначая сокращенно

представим соотношения (14) в виде

откуда, на основании (15), следует

Прямым вычислением легко убедиться, что

Поэтому из (18) следует, что

Вспоминая теперь, что согласно (27.19) комбинация

не зависит от способа регуляризации и в соответствии с (27.16) равна (27.15), используя аналогичные соображения также для функции приходим к выводу, что выражения

удовлетворяют требованию градиентной инвариантности при условии

Поэтому вычитаемые при нашем обычном способе регуляризации сингулярные части функций могут быть записаны в виде

где

Тождество Уорда, таким образом, имеет место и в нашем способе регуляризации. Ввиду того, что в проведенном рассуждении использовались лишь соотношения

этим показано, что тождество Уорда вообще не зависит от способа регуляризации.