40.3. Вектор тока.

В качестве примера рассмотрим выражение для плотности тока в электродинамике. Замечая, что в лагранжиан взаимодействия оператор входит всегда в комбинации

где — потенциал электромагнитного поля, видим, что вспомогательное классическое поле, по которому нужно дифференцировать чтобы получить является просто добавкой к и потому вообще можно положить

Величина (22) по только что доказанному будет удовлетворять условиям локальности и причинности и при выключении взаимодействия будет переходить в оператор тока свободного поля. Покажем, что она будет также удовлетворять уравнению непрерывности

Перенося условие (23) на коэффициентные функции имеем:

Представляя с помощью соотношения (21.12) в виде квадратичной формы от в которую зависящие от входят линейно,

находим, что условие градиентной инвариантности S-матрицы в форме (33.12)

обеспечивает выполнение условия (24), а следовательно, и выполнение уравнения непрерывности тока, определяемого выражением (22).

Перейдем теперь к построению выражения для полного заряда системы. В обычной теории это выражение имеет вид

где — нулевая компонента вектора тока. Соотношение (2.29), однако, явно неинвариантно по отношению к лоренцевым преобразованиям. Совершая в нем переход, обратный переходу к (2.8), получаем лоренц-инвариантное выражение

где — элемент трехмерной поверхности, ортогональный к оси , а интеграция производится по всей трехмерной поверхности . Это выражение, очевидно, может быть представлено в следующей форме:

где - элемент площади поверхности — косинус угла между осью и нормалью к поверхности а в точке — разрывная функция, введенная в § 39,

Выражение для заряда тогда принимает вид

В нашей теории естественным обобщением этого соотношения является выражение

которое формально переходит в (26) в пределе Убедимся в том, что выбранное выражение (27) является интегралом движения, т. е. что наблюдаемое значение Q не зависит от вида функции и его вариация

обращается в нуль при произвольной вариации

Для доказательства (28) будем исходить из (18), продифференцированного по :

которое можно представить в виде

В силу (23) из (29) также следует, что

Вычисляя вариацию (28) с учетом уравнения Шредингера и соотношений (27) и (29), находим:

Интегрируя второй член по частям, получаем, что

в силу уравнения непрерывности (23), а также, что

в силу (30), обращения в нуль на положительной временной бесконечности и обращения в нуль в соответствии с условием локализуемости (13) на отрицательной временной и пространственных бесконечностях.