25.2. Вычисление вероятностей переходов.

Возвращаясь к поставленной в начале параграфа задаче, видим, что в результате взаимодействия система перейдет из состояния (10) в состояние, описываемое амплитудой,

где

и потому среднее число частиц, которое окажется в конечном состоянии, описываемом нормируемой амплитудой согласно общему правилу квантовой механики равно

Здесь предполагается в связи с выбором нормировки, что в начальном состоянии средние числа частиц на единицу объема равны единице. Если же эти числа равны соответственно то выражение (12) следует заменить на

Нас интересует сейчас число частиц, рассеянных в интервалы импульсов около средних значений При этом мы будем полагать, как это было оговорено в § 24.2, что каждая частица в начальном и конечном состоянии имеет различные значения импульса. В эксперименте это соответствует отнесению частиц с неизменившимся импульсом к основному первичному пучку, а рассеянными считаются частицы, изменившие свой импульс.

Амплитуду конечного состояния возьмем поэтому в виде

где область G равна произведению объемов Вычисляя норму находим теперь

а вместо (13) получаем выражение

равное, по определению области G,

где обозначение заменено для краткости на Структура квадратов матричных элементов типа

и предельный переход были исследованы в § 24. Подставляя выражение (24.37) в (14) и деля на , получаем число частиц, рассеянных в интервал в единице времени и объема:

Используя формулу (24.39), находим также соответствующее выражение при рассеянии стационарным классическим полем в единицу времени в виде

Вновь подчеркнем, что полученные выражения (16), (16) имеют смысл лишь при условии непрерывности функции F (р в окрестности данных значений импульсов . В конкретных же вычислениях мы получаем выражение для в виде суммы нескольких членов, соответствующих разложению теории возмущений. Поэтому появление особенностей в может приводить к неприменимости теории возмущений.

Итак, чтобы определить число рассеянных частиц или соответствующие вероятности, необходимо вычислить сначала матричный элемент (24.35) (или (24.38)) и полученную функцию , стоящую множителем при -функции, подставить в (15) (или (16)). При этом результат будет иметь смысл лишь при непрерывности возле данных значений своих аргументов.

Отметим, что в связи с введенной в § 25.2 нормировкой векторов состояний оказывается удобным изменить нормировку матричного элемента F. Положим вместо (24.35)

Изменение степени множителя соответствует разнице между (10) и (11), а введенный знаменатель учитывает структуру импульсного

представления (бесспиновых) функций поля. Введенная таким образом амплитуда имеет импульсную размерность, равную и в простейших случаях оказывается лоренц-инвариантной величиной.

Формула (15) принимает вид