29.5. Структура экспоненциальной квадратичной формы.

Рассмотрим теперь подробнее структуру квадратичной формы

Для этого, во-первых, заметим, что она, разумеется, не зависит от вида полиномов . Будем поэтому для простоты считать, что все . В такой ситуации, отвечающей случаю чисто скалярной теории, нетрудно привести явные выражения не только для квадратичной формы А, но и для предэкспоненциального множителя фигурирующего в равенстве (17). Соответствующие формулы могут быть доказаны по индукции.

Прежде всего понадобится несколько определений.

Пусть, по-прежнему, G — связная диаграмма с L внутренними линиями и вершинами. Деревом G назовем любую ее связную поддиаграмму, содержащую все вершины G и не имеющую циклов. Очевидно, каждое дерево содержит ровно линий.

Рис. 25.

Рис. 26. Деревья диаграммы рис. 25.

Аналогично, -деревом (двудеревом) будем называть любую поддиаграмму G, содержащую все вершины исходной диаграммы, не имеющую циклов и состоящую в точности из двух компонент связности. Ясно, что в каждом реве содержится линии. Наконец, хордой дерева (-дерева) назовем любую внутреннюю линию диаграммы, не принадлежащую этому дереву (-дереву). Очевидно, что для того, чтобы из диаграммы получить дерево, следует убрать из нее ровно

линий. Число с в точности равно числу независимых замкнутых циклов, иначе, петель диаграммы. Поэтому каждому дереву соответствует с хорд, а каждому -дереву — хорд. Рассмотрим для примера диаграмму на рис. 25. Множество всех деревьев этой диаграммы изображено на рис. 26, а ее -деревья — на рис. 27.

Сделаем теперь следующее основное для этого пункта утверждение о квадратичной форме А и факторе

где D и Q — однородные функции параметров а, которые строятся но сформулированным ниже, универсальным для всех диаграмм правилам.

Построение формы D. Каждому дереву диаграммы сопоставим произведение с параметров ассоциированных со всеми — хордами этого дерева. Сумма таких произведений по всем деревьям диаграммы и есть форма D.

Рис. 27 Двудеревья диаграммы рис. 25.

Символически

Построение формы Q. Каждому -дереву диаграммы сопоставим произведение параметров ассоциированных со всеми хордами этого -дерева. Домножим полученное произведение на квадрат суммы внешних импульсов входящих в вершины одной (в силу закона сохранения импульса — все равно какой) компоненты выбранного -дерева. Форма Q представляет собой сумму таких выражений по всевозможным -деревьям диаграммы. Символически:

Как видно, Q представляет собой квадратичную форму внешних импульсов

Вспоминая формулу (16), мы приходим к следующему общему -параметрическому представлению для регуляризованной коэффициентной функции произвольной диаграммы скалярной теории:

Вернемся теперь к диаграмме рис. 25 и на ее примере проиллюстрируем репепты (22) и (23) Согласно рис. 26 имеем для формы

Аналогично получаем для формы Q

где выписаны лишь те члены, которые отвечают -деревьям, изображенным на верхней половине рис. 27.

Разумеется, для диаграмм высоких порядков правила (22), (23) приводят к довольно сложным выражениям для квадратичной формы А и предэкспоненциального фактора F. Тем не менее, представление (24) весьма удобно в общих исследованиях, поскольку оно обнаруживает целый ряд не зависящих от порядка и структуры диаграммы свойств подынтегрального выражения.

Однако ниже понадобятся только следующие два утверждения о квадратичной форме

если х — евклидов вектор и

причем суммирования 2 распространяются по всем узлам, кроме одного. Первое из этих утверждений тривиально, поскольку неотрицательность форм Q и D непосредственно видна из правил (22) и (23). Чтобы доказать второе утверждение, заметим, что для каждого слагаемого в Q квадрат суммы «внешних импульсов» х удовлетворяет неравенству

поэтому на основании (23)

С другой стороны, каждое -дерево диаграммы может быть получено из некоторого дерева удалением одной (скажем, ) линии. Следовательно, для заданного -дерева имеет место оценка

Таким образом, из двух последних соотношений вытекает, что

где суммирование ведется по некоторой совокупности деревьев диаграммы. Распространив суммирование на все деревья, мы лишь

усилим неравенство. Имеем поэтому

откуда и следует оценка (26) для

Рассмотрим теперь изменения, которые произойдут в коэффициентных функциях T-произведений в результате действия операции в принятом нами интегральном «а-представлении» (15). Напомним, что согласно определению операция в х-представлении состоит в замене части произведения соответствующей внутренним линиям из на коэффициентную функцию квазилокального оператора которая в представлении имеет вид полинома, умноженного на -функцию:

При переходе к интегральному представлению (15) воспользуемся для приведения полинома к экспоненциальному виду соотношением

представляющим собой естественное обобщение формулы для из . Очевидно при этом, что квадратичная форма в экспоненте как от ZQ, так и от зависеть не будет. Таким образом, в результате применения операции мы получим опять выражение типа (17), которое не содержит переменные, соответствующие внутренним линиям

«Новая» квадратичная экспоненциальная форма получается из «старой» путем приравнивания нулю всех соответствующих внутренним линиям . При этом из нее автоматически выпадают импульсы соответствующие вершинам диаграммы, входящим в обобщенный узел Очевидно также, что указанные а, не войдут и в предэкспоненциальный множитель

Для анализа особенности станем теперь пропорционально уменьшать все положив

и установим максимальную эффективную степень полюса в получающемся интеграле при . Ранее было установлено, что эффективная степень полюса равна половине условной степени роста плюс единица и что условная степень роста не меняется под действием операции . Следовательно, в данном случае эффективная степень полюса равна

Вполне аналогичное заключение можно сделать и о неизменности эффективной степени полюса при действии операции