Главная > Введение в теорию квантованных полей
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

29.5. Структура экспоненциальной квадратичной формы.

Рассмотрим теперь подробнее структуру квадратичной формы

Для этого, во-первых, заметим, что она, разумеется, не зависит от вида полиномов . Будем поэтому для простоты считать, что все . В такой ситуации, отвечающей случаю чисто скалярной теории, нетрудно привести явные выражения не только для квадратичной формы А, но и для предэкспоненциального множителя фигурирующего в равенстве (17). Соответствующие формулы могут быть доказаны по индукции.

Прежде всего понадобится несколько определений.

Пусть, по-прежнему, G — связная диаграмма с L внутренними линиями и вершинами. Деревом G назовем любую ее связную поддиаграмму, содержащую все вершины G и не имеющую циклов. Очевидно, каждое дерево содержит ровно линий.

Рис. 25.

Рис. 26. Деревья диаграммы рис. 25.

Аналогично, -деревом (двудеревом) будем называть любую поддиаграмму G, содержащую все вершины исходной диаграммы, не имеющую циклов и состоящую в точности из двух компонент связности. Ясно, что в каждом реве содержится линии. Наконец, хордой дерева (-дерева) назовем любую внутреннюю линию диаграммы, не принадлежащую этому дереву (-дереву). Очевидно, что для того, чтобы из диаграммы получить дерево, следует убрать из нее ровно

линий. Число с в точности равно числу независимых замкнутых циклов, иначе, петель диаграммы. Поэтому каждому дереву соответствует с хорд, а каждому -дереву — хорд. Рассмотрим для примера диаграмму на рис. 25. Множество всех деревьев этой диаграммы изображено на рис. 26, а ее -деревья — на рис. 27.

Сделаем теперь следующее основное для этого пункта утверждение о квадратичной форме А и факторе

где D и Q — однородные функции параметров а, которые строятся но сформулированным ниже, универсальным для всех диаграмм правилам.

Построение формы D. Каждому дереву диаграммы сопоставим произведение с параметров ассоциированных со всеми — хордами этого дерева. Сумма таких произведений по всем деревьям диаграммы и есть форма D.

Рис. 27 Двудеревья диаграммы рис. 25.

Символически

Построение формы Q. Каждому -дереву диаграммы сопоставим произведение параметров ассоциированных со всеми хордами этого -дерева. Домножим полученное произведение на квадрат суммы внешних импульсов входящих в вершины одной (в силу закона сохранения импульса — все равно какой) компоненты выбранного -дерева. Форма Q представляет собой сумму таких выражений по всевозможным -деревьям диаграммы. Символически:

Как видно, Q представляет собой квадратичную форму внешних импульсов

Вспоминая формулу (16), мы приходим к следующему общему -параметрическому представлению для регуляризованной коэффициентной функции произвольной диаграммы скалярной теории:

Вернемся теперь к диаграмме рис. 25 и на ее примере проиллюстрируем репепты (22) и (23) Согласно рис. 26 имеем для формы

Аналогично получаем для формы Q

где выписаны лишь те члены, которые отвечают -деревьям, изображенным на верхней половине рис. 27.

Разумеется, для диаграмм высоких порядков правила (22), (23) приводят к довольно сложным выражениям для квадратичной формы А и предэкспоненциального фактора F. Тем не менее, представление (24) весьма удобно в общих исследованиях, поскольку оно обнаруживает целый ряд не зависящих от порядка и структуры диаграммы свойств подынтегрального выражения.

Однако ниже понадобятся только следующие два утверждения о квадратичной форме

если х — евклидов вектор и

причем суммирования 2 распространяются по всем узлам, кроме одного. Первое из этих утверждений тривиально, поскольку неотрицательность форм Q и D непосредственно видна из правил (22) и (23). Чтобы доказать второе утверждение, заметим, что для каждого слагаемого в Q квадрат суммы «внешних импульсов» х удовлетворяет неравенству

поэтому на основании (23)

С другой стороны, каждое -дерево диаграммы может быть получено из некоторого дерева удалением одной (скажем, ) линии. Следовательно, для заданного -дерева имеет место оценка

Таким образом, из двух последних соотношений вытекает, что

где суммирование ведется по некоторой совокупности деревьев диаграммы. Распространив суммирование на все деревья, мы лишь

усилим неравенство. Имеем поэтому

откуда и следует оценка (26) для

Рассмотрим теперь изменения, которые произойдут в коэффициентных функциях T-произведений в результате действия операции в принятом нами интегральном «а-представлении» (15). Напомним, что согласно определению операция в х-представлении состоит в замене части произведения соответствующей внутренним линиям из на коэффициентную функцию квазилокального оператора которая в представлении имеет вид полинома, умноженного на -функцию:

При переходе к интегральному представлению (15) воспользуемся для приведения полинома к экспоненциальному виду соотношением

представляющим собой естественное обобщение формулы для из . Очевидно при этом, что квадратичная форма в экспоненте как от ZQ, так и от зависеть не будет. Таким образом, в результате применения операции мы получим опять выражение типа (17), которое не содержит переменные, соответствующие внутренним линиям

«Новая» квадратичная экспоненциальная форма получается из «старой» путем приравнивания нулю всех соответствующих внутренним линиям . При этом из нее автоматически выпадают импульсы соответствующие вершинам диаграммы, входящим в обобщенный узел Очевидно также, что указанные а, не войдут и в предэкспоненциальный множитель

Для анализа особенности станем теперь пропорционально уменьшать все положив

и установим максимальную эффективную степень полюса в получающемся интеграле при . Ранее было установлено, что эффективная степень полюса равна половине условной степени роста плюс единица и что условная степень роста не меняется под действием операции . Следовательно, в данном случае эффективная степень полюса равна

Вполне аналогичное заключение можно сделать и о неизменности эффективной степени полюса при действии операции

1
Оглавление
email@scask.ru