16.4. Размерная регуляризация.

Эту регуляризацию формулируют в импульсном представлении. При этом используют определение произведения сингулярных функций через соответствующие фурье-образы. Например, если

то

где I формально определяется интегралом типа свертки

по 4-импульсному многообразию.

Взяв для примера причинную функцию скалярного поля убеждаемся, что интеграл (25) не существует из-за ультрафиолетовой расходимости в области больших значений q. Эта расходимость является отражением сингулярности произведения на световом конусе.

Размерная регуляризация состоит в том, что интеграл по 4-мерному многообразию виртуальных импульсов заменяют на символ, формально соответствующий интегралу по пространству нецелого числа

измерений. При этом считают малой положительной величиной Наиболее просто размерная регуляризация формулируется в евклидовом случае, когда 4-мерное импульсное пространство можно считать евклидовым. (Для этого следует перейти от действительной нулевой компоненты к чисто мнимой , т. е. провести операцию поворота контура интегрирования по на 90 градусов.) Тогда основной анзац размерной регуляризации состоит в замене

    (26)

причем объем единичной сферы в -мерном пространстве интерполируется с помощью гамма-функции Эйлера а зависимость от параметра имеющего размерность массы, вводится из соображений сохранения общей размерности интеграла.

Снятие размерной регуляризации достигается переходом к пределу при Для более детального ознакомления с техникой размерной регуляризации мы отсылаем читателя к § 23.3 и Дополнению VI.3 учебника Боголюбова, Ширкова (1980).