§ 37. Полные функции Грина и вершинные функции

37.1. Высшие функции Грина.

В квантовополевой теории возмущений основную роль играют хронологические спаривания операторов свободных полей являющиеся функциями Грина соответствующих уравнений для свободных полей:

С физической точки зрения представляют собой факторы распространения частиц, движущихся между точками х и у, не взаимодействуя с другими полями. Влияние таких взаимодействий приводит к радиационным поправкам в элементарные пропагаторы учет которых приводит к так называемым полным функциям Грина включающим эффекты взаимодействия и зависящим от констант связи

Полные функции Грина А были введены выше в § 34.3 полуинтуитивным образом, путем суммирования членов, соответствующих диаграммам Фейнмана. Такие полные функции Грина являются факторами распространения частиц, движущихся между точками х и у, с учетом взаимодействия этих частиц. Поэтому они могут рассматриваться как обобщения функций Грина свободных полей на случай взаимодействия.

Мы дадим теперь точные определения полных одпочастичных функций Грина , а также высших функций Грина представляющих собой обобщение вершинных факторов (вертексов), подобных 3-вершинной функции квантовой электродинамики, и представленных суммами связных диаграмм с заданным числом внешних линий.

Высшие и одночастичные функции Грина будем строить на основе вакуумных ожиданий

содержащих под знаком хронологического произведения матрицу рассеяния

Выражения вида (1) при являются естественными обобщениями одночастичных функций Грина свободных полей на случай наличия взаимодействия . Путем разложения оператора S по степеням взаимодействия X мы получаем ряд

последовательные члены которого содержат радиационные поправки к первому члену представляющему собой элементарное (свободное) спаривание.

Здесь уместно сделать одно важное техническое замечание, относительно выражений, содержащих под знаком операции

операторные сомножители, не зависящие явно от времени, подобные показателю экспоненты в (2) или, например, операторам полей в импульсном представлении.

Может возникнуть искушение вынести такой «не зависящий от времени» сомножитель из-под знака T-произведения. Однако в результате этой операции, после вычисления вакуумного ожидания мы придем к выражению, в котором некоторые хронологические спаривания окажутся замененными на обычные, т. е. придем к неверному результату.

В выражениях подобного типа всегда следует сначала выполнять операцию , а затем уже интегрировать по конфигурационному пространству. Например, третий член в правой части (3) есть, по определению,

Таким образом, операции не переставймы и запись типа (2) является чисто символической.

Слагаемые правой части (3) содержат члены, соответствующие диаграммам Фейнмана с двумя внешними линиями, входящими в точки и у. На рис. 52 изображены диаграммы Фейнмана, соответствующие членам нескольких низших порядков в теории скалярного поля с четверным самодействием Диаграмма а) соответствует первому члену в правой части (3), диаграммы б) и в) — третьему члену, - а диаграмма г) — четвертому члену.

Обращает на себя внимание диаграмма в). Она является несвязной. Такие несвязные диаграммы появятся во всех высших членах разложения (3). Все такие вклады соответствуют определенному

способу спариваний операторов, когда операторы спарены друг с другом через «часть» промежуточных вершин . Остальные вершины в диаграммах данного порядка спарены только между собой. Соответствующие вклады факторизуются

Введенный здесь верхний индекс соответствует связным вкладам. Вершиныгь могут быть выбраны из вершин способами. Имеем поэтому:

Меняя порядок суммирования, получаем:

Таким образом, вакуумные вклады факторизуются и в полном выражении.

Поэтому полные одночастичные функции Грина определим следующим образом:

Выражение (5) учитывает все радиационные поправки, соответствующие связным диаграммам Фейнмана, и в пределе выключения взаимодействия переходит в функцию Грина свободных полей.

Рис. 52. Диаграммы низших порядков с двумя внешними линиями в модели

Не составляет труда убедиться, что проведенное выше рассуждение, приводящее к факторизации (5) вакуумных вкладов, может быть повторено для вакуумных ожиданий (1) при . Здесь, однако, вообще говоря, могут возникнуть вклады, в которых часть операторов входит в одну компоненту связности несвязной диаграммы, а остальные — в другую (другие). Поэтому выражения типа

при содержат несвязные вклады. Исключение составляет 3-вертекс

представляющий собой сумму связных вкладов. К вопросу об определении связных высших функций Грина мы вернемся в § 37.4.

Отметим еще, что здесь мы всюду используем значение матрицы рассения получающееся из в процессе устремления функции характеризующей область включения взаимодействия, к единице во всем пространстве-времени. Здесь следует иметь в виду, что даже в этом предельном случае функция , по определению S-матрицы, адиабатически стремится к нулю на положительной и отрицательной временных бесконечностях.