48.2. Дифференциальные уравнения.

Ренормализационная группа, представляя собой группу непрерывных преобразований, может быть охарактеризована бесконечно-малым элементом, т. е. соответствующими дифференциальными уравнениями Ли.

Эти дифференциальные уравнения могут быть получены дифференцированием функциональных уравнений. Они оказываются очень полезными как для общего анализа, так и для конкретных приложений.

Рассмотрим сначала уравнения для инвариантного заряда в однозарядной модели. Дифференцируя (47.32) по х и полагая затем , получим

где

С другой стороны, дифференцируя (47.32) по и полагая затем , найдем

где функция Р определена в (18).

Уравнения (17) и (19) представляют собой различные формы дифференциальных групповых уравнений. Как уже отмечалось выше, уравнения вида (17), впервые введенные Боголюбовым и Ширковым

(1955 б), описывают эволюцию инвариантного заряда по энергетической переменной. Ниже мы будем именовать их эволюционными уравнениями. Уравнения типа (19) впервые были получены Овсянниковым (1956) в процессе построения общего решения функциональных уравнений (см. ниже § 48.3). Они выражают факт компенсации приращений от всех трех аргументов в инвариантном заряде при бесконечно малом изменении шкалы импульсов и масс. Мы будем называть их уравнениями Овсянникова или компенсационными уравнениями.

Компенсационные уравнения полностью эквивалентны эволюционным. Как те, так и другие несколько менее информативны, нежели «производящие» для них функциональные уравнения, поскольку не учитывают условие нормировки (47.33). Это условие следует накладывать на решения дифференциальных уравнений в качестве граничного.

Получим еще дифференциальные уравнения для функциональных уравнений второго класса. Дифференцируя соответствующим образом функциональное уравнение (47.29), получим эволюционное уравнение

и уравнение Овсянникова

Здесь

а функция определена согласно (18).

Перейдем, наконец, к уравнениям третьего класса. Эти уравнения содержат несколько независимых импульсных аргументов. Поэтому эволюционные уравнения для них образуют систему

а компенсационное уравнение Овсянникова содержит все частные производные

Полученные уравнения естественным образом обобщаются на случай двух и более констант связи. Так, эволюционные уравнения

для двух инвариантных зарядов (11) будут

Здесь

а функции g и , стоящие в аргументах правых частей, зависят от тех же аргументов, что и левые части.

Уравнения Овсянникова, соответствующие (25), имеют вид

Дифференциальные уравнения, соответствующие уравнениям второго и третьего класса, также могут быть выписаны без труда. При этом эволюционные уравнения по форме совпадут с уравнениями для однозарядового случая, а операторы уравнений Овсянникова будут содержать комбинацию

вместо

Обобщение на многозарядный случай очевидно.