ВВЕДЕНИЕ

План изложения. Эта книга содержит систематическое изложение основ современной теории квантованных полей, проведенное с привлечением необходимых математических понятий. Основная часть книги (первые семь глав) представляет собой последовательное развитие формализма, основанного на лагранжевой формулировке теории свободных полей и аксиоматическом построении матрицы рассеяния для взаимодействующих полей.

Содержание первой главы составляет аппарат неквантованных релятивистских свободных полей, основанный на лагранжевом формализме и теореме Нётер.

Во второй главе проведено квантование свободных полей на основе принципа соответствия и без обращения к каноническому формализму. В главе третьей обсуждаются свойства перестановочных и причинных функций, а также некоторые математические вопросы, возникающие при умножении сингулярных функций.

В четвертой главе дана общая теория матрицы рассеяния и развит аппарат теории возмущений. При этом мы следуем идеям Гейзенберга, Фейнмана и особенно Штюкельберга и определяем матрицу рассеяния без обращения к гамильтонову формализму, положив в основу физические требования ковариантности, унитарности и причинности. Условие причинности, явно сформулированное при помощи вариационной производной, играет при этом важную роль. Другими словами, мы даем конструктивное построение разложения теории возмущений для S-матрицы в рамках аксиоматического подхода. Путем тщательного анализа произвола, возникающего при умножении сингулярных функций Грина, для матрицы рассеяния получено наиболее общее выражение, представляющее собой основу для последующей процедуры устранения расходимостей.

Далее, в главе пятой, на примере диаграмм низших порядков спинорной электродинамики продемонстрирована техника практических вычислений фейнмановских интегралов и выделения из них простейших ультрафиолетовых расходимостей. Проблема устранения расходимостей в теории возмущений затем рассмотрена в полном объеме и изложена строгая теория перенормировок S-матрицы. Дана классификация перенормируемости теорий в рамках теории возмущений.

Шестая глава содержит применение общей теории перенормировки в любом порядке теории возмущений к спинорной электродинамике, теориям скалярного и псевдоскалярного мезонного поля с самодействием и к теории псевдоскалярного взаимодействия нуклонов и псевдоскалярных мезонов. Особое внимание здесь обращено на структуру перенормировок полных функций Грина. Получены также уравнения Швингера для этих функций.

В седьмой главе путем введения «половинной» S-матрицы изучается вопрос об описании эволюции системы квантованных полей во времени и выводится уравнение Томонага — Швингера. Введены динамические переменные и построены обобщения операторов свободных полей на случай взаимодействия. Получено уравнение Дирака с радиационными поправками и изложена теория лэмбовского сдвига уровней.

В трех заключительных главах рассмотрены некоторые общие методы теории квантованных полей, не связанные органически с разложением теории возмущений.

Глава восьмая содержит изложение метода континуального интегрирования. Этот метод, основанный на особом представлении полных функций Грина через континуальные интегралы, обладает большой общностью. Его возможности продемонстрированы на материале спинорной электродинамики. Здесь получены обобщенные тождества Уорда, выведены формулы калибровочного преобразования электронной функции Грина и определена структура ее инфракрасных особенностей. Этот метод в последнее время становится все более популярным благодаря исследованиям неабелевых калибровочных полей, а также приобретает решающее значение как инструмент теоретического анализа квантовополевых моделей, не основанный на теории возмущений.

В девятой главе представлен метод ренормализационной группы, основанный на групповом характере мультипликативных перенормировок. Кроме изложения основ и аппарата функциональных и дифференциальных уравнений, большое внимание уделено практически важному анализу асимптотик в ультрафиолетовой области.

Последняя, десятая глава посвящена методу дисперсионных соотношений. Наше изложение, основанное на аксиоматической формулировке, содержит вывод спектральных представлений для одночастичных функций Грина и доказательство дисперсионных соотношений для пион-нуклонного рассеяния. Техника рассуждений основана на широком использовании вариационных производных S-матрицы по квантованным полям (т. е. токов) и матричных элементов от их произведений. Материал этой главы дает достаточное представление о методах теории функций многих комплексных переменных, используемых для аналитического продолжения обобщенных функций.

За 30 лет существования метода дисперсионных соотношений эти методы, поначалу казавшиеся экзотическими, нашли широкое применение

в квантовой теории поля и в настоящее время составляют основу большей части ее строгих основных результатов (связь спина со статистикой, СРТ-теорема и т. п.).

Собственно метод дисперсионных соотношений в широком смысле слова, т. е. метод изучения основных величин теории, использующий их аналитические свойства, за этот период также получил очень большое развитие и нашел многообразные и физически богатые применения. Некоторые из них, как, например, высокоэнергетические свойства амплитуды рассеяния (теоремы Померанчука, Логунова; граница Фруассара), основываются на строго доказанных аналитических свойствах, другие используют дополнительные постулируемые утверждения (например, двойное спектральное представление Манделстама). Все эти вопросы, однако, выходят за рамки нашего изложения.

Некоторые обозначения. Введем еще ряд общих обозначений. Все компоненты 4-векторов выбраны действительными. Метрика определяется тензором Минковского, взятым с обратным знаком:

т. e. произведение двух контравариантных 4-векторов а и b с компонентами определено как

Жирные буквы относятся к обычным -векторам. Переход от контравариантных к ковариантным компонентам (опускание индекса) достигается с помощью метрического тензора

т. е.

Здесь и в дальнейшем мы будем подразумевать суммирование по дважды повторяющимся индексам, опуская знак суммы. При этом, как правило, индексы суммирования по всем четырем компонентам 0, 1, 2, 3 обозначаются латинскими буквами, а по трем пространственным — греческими. Например,

Поднимая (или опуская) один из индексов метрического тензора, получаем символ Кронекера:

В то же время индексы, относящиеся к группам внутренних симметрий (например, изотопические индексы), обозначаются, как правило, латинскими буквами, взятыми из начала алфавита

Для (операторных) функций поля кроме индивидуализированных обозначений, введенных в соответствующих местах изложения, иногда используются обобщающие обозначения. Поля с целым спином (бозе-поля) обозначаются символом а поля с полуцелым спином (ферми-поля) — символом При этом, иногда, для того чтобы подчеркнуть общность рассмотрения, непрерывные пространственно-временные координаты объединяются с дискретными в один аргумент, обозначаемый греческой буквой

Символ интегрирования по имеет следующий смысл:

В случае самого общего рассмотрения, справедливого как для бозе-, так и для ферми-полей, применяется специальное обозначение и .

Символом обозначена свертка компонент 4-вектора От с матрицами Дирака

Для производных иногда используются сокращенные обозначения

При этом, разумеется,

Оператор Даламбера

представ как

По всей книге используется система единиц, в которой скорость света и постоянная Планка, деленная на равны единице, т. е.

В этой системе энергия, импульс и масса имеют размерность обратной длины, а время — размерность длины.

Формулы четырехмерного преобразования Фурье, как правило, записываются в виде

Знак показателя экспоненты выбран из соображений соответствия его первого слагаемого квантовомеханической формуле

Трехмерное преобразование Фурье соответственно имеет вид

Исключение составляют формулы для положительно-частотных частей функций поля и положительно-частотных частей функций Грина. Нормировочные множители фурье-преобразований (степени ) в различных местах книги выбираются по-разному.

Признаком библиографической ссылки является год, стоящий после фамилии автора. Например, «Дайсон (1949)» обозначает ссылку на работу Дайсона, опубликованную в 1949 году, полное библиографическое наименование которой приведено в списке цитированной литературы в конце книги.

Внутри каждого параграфа употребляется одинарная нумерация формул: (1), (2), (3), ..., которая непосредственно используется для ссылок на формулы внутри этого параграфа. Употребление двойной нумерации (13.26), (57.11), (ПЗБ.2) сигнализирует об отсылке к формуле другого параграфа или приложения. При этом первый символ указывает номер параграфа или приложения, а второе число — порядковый номер формулы в нем.