52.2. Общие свойства матрицы рассеяния.

Приступим теперь к формулировке в явном виде основных физических положений квантовой теории поля, необходимых для установления дисперсионных соотношений.

В этой монографии при построении разложений для матрицы рассеяния (глава IV) мы уже частично выполнили программу такого рода, рассматривая в качестве исходных положений явно сформулированные условия унитарности, причинности и ковариантности

для S-матрицы. При этом построение теории было ограничено рамками теории возмущений.

Кроме этого, построение обладало еще одним серьезным недостатком, связанным с употреблением вспомогательной функции . С помощью этой функции было сформулировано общепринятое «псевдофизическое» представление об адиабатическом включении и выключении взаимодействия, а также была получена возможность исследовать локальные характеристики теории. Эта возможность технически была связана с операцией функционального дифференцирования S-матрицы по .

Представляется поэтому желательным произвести сейчас некоторый пересмотр системы наших основных положений, с тем чтобы освободиться от привлечения функции которое, в сущности, необходимо лишь для получения разложений но степеням малости взаимодействия.

Как упоминалось в § 20.6, при описании локальной структуры теории вместо вариационных производных по можно использовать производные по функциям поля. Такие вариационные производные по бозе- и ферми-операторным аргументам были введены в §§ 37, 38. Их мы и будем использовать.

Мы откажемся также от введения S-матрицы с помощью общепринятого представления об адиабатическом включении и выключении взаимодействия и возвратимся к ее первоначальному определению, данному Гейзенбергом, как матрицы, элементами которой являются амплитуды вероятности перехода от одного состояния при к другому состоянию при . В каждом из этих состояний может находиться как система «бесконечно» удаленных друг от друга отдельных элементарных частиц, так и их комплексов в связанных состояниях. Такое введение S-матрицы является более реалистичным, чем использованное нами ранее, так как не предполагает, что в реальных состояниях при отсутствует взаимодействие с виртуальными полями (см. § 20.1).

При этом возникают задачи описания начальных и конечных состояний пространственно разделенных реальных частиц и связанных состояний. Мы не будем, однако, заниматься этими сложными вопросами и приступим сейчас к формулировке интересующих нас основных необходимых физических посылок современной теории поля.

Все эти положения удобно разделить на две группы: а) общие свойства, характерные для весьма обширного класса возможных теорий, и б) специальные свойства локальности, связанные, в частности, с условием микроскопической причинности.

Общие свойства.

А. Асимптотические состояния системы содержат бесконечно удаленные реальные частицы и их связанные комплексы. Взаимодействие

действие между такими частицами комплексами равно нулю, и потому основные динамические характеристики системы (типа энергии, импульса, момента и т. п.) являются аддитивными. Такие состояния описываются амплитудами являющимися элементами некоторого линейного пространства.

Подчеркнем, что в отличие от предыдущего изложения, где асимптотические состояния соответствовали свободным невзаимодействующим частицам (и полям), здесь имеются в виду состояния с реальными наблюдаемыми (с точки зрения адиабатического подхода — перенормированными) характеристиками.

Б. Имеется группа G преобразований L, включающая группу Пуанкаре преобразований пространства-времени (G может включать и другие элементы, например, и изотопические преобразования). Под действием преобразований L из G амплитуды состояний преобразуются с помощью некоторого унитарного представления группы.

В. Если в состоянии имеется определенный 4-вектор энергии-импульса , то

где — трансляция . Существует состояние вакуума для которого

Отметим, что в соответствии с (9.23) из (7), в частности, следует

Г. Существует система амплитуд , которая вместе с амплитудой является замкнутой, так что

и притом такая, что в состоянии имеется определенный импульс k и энергия Индекс обозначает совокупность квантовых чисел, дискретных и непрерывных, которая вместе с к полностью характеризует состояние данной замкнутой системы. Аналогичные свойства могут быть сформулированы для неприводимых представлений других подгрупп G, в частности для представлений, соответствующих моменту.

Д. Амплитуда вероятности перехода от состояния к состоянию дается матричным элементом оператора S (матрицы рассеяния), удовлетворяющего условию унитарности

Е. При преобразовании L из группы G матрица рассеяния S преобразуется с помощью унитарного представления

Ж. Если a) является амплитудой либо вакуума, либо состояния, содержащего одну реальную частицу или один стабильный комплекс, то условие стабильности таких состояний имеет вид

Условие (11) осуществляет не что иное, как фиксирование унитарного фазового множителя, с точностью до которого обычно определяется матрица рассеяния. Так, с точки зрения обычной ггории, изложенной в главах VI, V, (11) сводится к условию стабильности состояния вакуума и одночастичных состояний.

Это условие могло быть получено там заменой обычной матрицы рассеяния S на оператор S, получающийся из S вычитанием из лагранжиана взаимодействия вакуумного и одночастичиых контрчленов. Например, для спинорной электродинамики

так что

а также

что эквивалентно (11).

Положения 52.2А-52.2Ж являются настолько общими, что, по-видимому, останутся неизменными и в возможных дальнейших модификациях теории элементарных частиц.