10.2. Перестановочные соотношения Ферми—Дирака и Бозе—Эйнштейна.

Для установления конкретного вида перестановочных соотношений воспользуемся теперь уравнениями (9.24), причем оператор энергии-импульса запишем в виде

В соответствии с классическими выражениями (3.26), (3.39), (4.23), (5.20) и (7.34) мы выразили его через независимые амплитуды связанные с линейными соотношениями вида

причем коэффициенты являются с-числами.

Ввиду некоммутируемости операторов их порядок в (7) соответствует порядку функций в лагранжианах Напомним, что операторы связаны условиями комплексного (теперь эрмитового) сопряжения

Верхний знак перед вторым членом в правой части (7) относится к полям с целым спином (скалярное, векторное, электромагнитное), нижний — к полям с полуцелым спином (спинорное).

Заметим теперь, что из (3), (6) и (8) вытекают следующие свойства коммутаторов операторов и их билинейных форм, входящих в (7):

а также аналогичные соотношения для коммутаторов которые могут быть получены из приведенных с помощью эрмитова сопряжения. Подставляя (7) в (9.30) и (9.31), с помощью (10) получаем

откуда следует

Таким образом, для поля каждого типа мы получили два варианта перестановочных соотношений. Требование симметрии этих соотношений относительно замены знака электрического заряда, точнее, замены частиц на античастицы

однозначно определяет рецепт квантования в каждом случае. Симметрия (13) отражает тот факт, что выбор между «основной» функцией поля и и ее комплексно-сопряженной и есть вопрос соглашения, и противоположный выбор

приводит лишь к замене «основных» частиц на античастицы. Такая замена сказывается на операторе заряда, который не инвариантен относительно (13), но не должна сказываться на уравнении движения (9.24) и выражении для 4-вектора энергии-импульса. Условия симметрии относительно (13) также обеспечивают правильный переход от комплексного к действительному полю

Отметим, что преобразование вида (13) называется зарядовым сопряжением, а соответствующая симметрия — зарядовой симметрией (см. ниже §§ 13, 14).

Используя симметрию относительно (13), получаем, что в случае полей с целым спином (верхний знак в правой части (12) непротиворечивым оказывается квантование по Бозе—Эйнштейну, а в случае спинорных полей (нижний знак) — по Ферми—Дираку.

Заметим еще, что если вместо симметрии (13) использовать свойство положительности метрики в гильбертовом пространстве

то к тем же самым выводам можно прийти только с помощью уравнения (12). Мы предоставляем читателю проделать соответствующую выкладку.

Таким образом, мы получили, что поля с целым спином квантуются по Бозе—Эйнштейну

а с полуцелым спином — по Ферми—Дираку:

Отметим здесь, что перестановочными соотношениями (14), (15) однозначно определяются нормировки операторных полевых функций.