4.4. Запись уравнений Клейна — Гордона в виде системы уравнений первого порядка.

Заметим, что в общем случае система уравнений

может быть заменена системой уравнений первого порядка вида

где — некоторые квадратные матрицы, а число компонент функции и равно рангу матриц Г и М, свойства которых определяются законами преобразования функции и и условиями ковариантности уравнений (31).

В частности, еслн матрицы Г определяются условиями

а матрица М диагональна, то, как будет показано в § 6, ранг единственного неприводимого представления Г равен четырем, а функция и является четырехкомпонентным спинором.

Случай, когда Г определяются соотношениями

а матрица М диагональна, был исследован Дэффином (1938) и Кеммером (1939) (см. также Паули (1941)). Ранг матриц оказывается здесь равным шестнадцати. Соответствующее представление распадается на три неприводимых. В первом из них и однокомпонентна и равна нулю, во втором — пятикомпонентна и в третьем — десятикомпонентна. Пятикомпонентная функция реализует скалярное представление, соответствует скаляру и его 4-градиенту и описывает частицы со спином нуль. Десяти компонентная функция реализует векторное представление, соответствует 4-вектору U и шести компонентам тензора

и описывает частицы со спином единица.

Условия ковариантности уравнений типа (31) при лоренцевых преобразованиях накладывают на матрицы Г некоторые соотношения, устанавливающие связь между матрицами Г и законами преобразования волновой функции . Рассмотрим для этого бесконечно малое преобразование вращения (при преобразовании трансляции уравнения (31) тривиально ковариантны):

при котором функция и преобразуется по закону

В соответствии с требованием ковариантности уравнение (31) в новых переменных будет иметь старую форму:

Выражая входящие сюда производные по преобразованным координатам х через производные по первоначальным координатам умножая слева на и приравнивая друг другу члены первого порядка малости по параметрам , находим условия связи между матрицей преобразования и коэффициентами уравнения Г и М:

обеспечивающие ковариантность рассматриваемого уравнения.

Таким образом, тензорные законы преобразования функций поля в формализме Дэффина — Кеммера принимают вид (33), причем матрица преобразования оказывается связанной с матричными коэффициентами уравнения поля. Тензорный закон преобразования как бы принимает «внешний вид» преобразования спинорного типа (см. § 6). Этот факт, разумеется, связан с переходом к новой системе «независимых компонент» функции поля, фактически являющихся линейными комбинациями тензорных компонент и их первых производных.

Уравнение (31) может быть также получено вариационным методом из лагранжиана вида

Входящая сюда функция и, называемая «сопряженной» по отношению к и, удовлетворяет уравнению

н линейно связана с комплексно-сопряженной по отношению к и функцией и матричным соотношением

Матряца последнего преобразования Г определяется через Г и М с помощью условия действятельности лагранжиана (35). Этим путем получаем:

Очевидно также, что из лагранжиана (35) обычиым путем могут быть получены выражения для динамическях переменных.

Для иллюстрации рассмотрим случай комплексного скалярного поля. Уравнение Клейна — Гордона

может быть заменено на матричные уравнения первого порядка

где М — диагональная матрица имеют вид (точками изображены нули)

Не составляет труда убедиться, что компоненты и могут быть выражены через следующим образом:

При этом матрица Г преобразования (36) будет

причем

а лагранжиан (35) может быть представлен в виде

отличающемся от (3.32) лишь членом, имеющим вид 4-дивергенции.

Таким образом, для свободного поля формулировка Дэффина — Кеммера полностью эквивалентна обычной. Отличие проявляется при введении взаимодействия между полями. Так, например, взаимодействие с электромагнитным полем обычно вводится так называемым минимальным образом, когда градиенты (т. е. импульсы в смысле обычного квантово-механического соответствия), входящие в свободный лагранжиан, «удлиняются» по правилу (введения обобщенных импульсов

обеспечивающему градиентную инвариантность полного лагранжиана (см. ниже § 8.2). Удлинение лагранжиана (35), зависящего от линейно, приводит к лагранжиану взаимодействии, линейному по потенциалу электромагнитного поля тогда как удлинение свободного лагранжиана (3.1) приводит к лагранжиану взаимодействия, квадратичному по