13.4. Квантованное нейтринное поле.

Лагранжиан нейтринного поля запишем в виде:

Напомним здесь свойства нейтринного спинора из § 7.4:

Выражения для тензора энергии-импульса и тензора спина в конфигурационном представлении получаются из формул (7.28), (7.31) подстановкой v вместо . В импульсном представлении формула для получается из (7.34) и (12.10) опусканием суммирования по спиновому индексу:

Нижний индекс соответствует отрицательной спиральности.

Отдельно рассмотрим спин нейтринного поля. Для этого будем исходить из выражения вида (7.40) для плотности вектора спина:

справедливого в системе отсчета , т. е. когда ось направлена по импульсу. В этой системе нормированные спиноры, удовлетворяющие уравнениям

и дополнительным условиям

могут быть выбраны в виде (имеется в виду представление (6.18) матриц Дирака)

где — двухкомпонентные спиноры, удовлетворяющие уравнению Вейля (7.50)

имеют вид

Здесь мы учли, что для безмассового нейтрино Очевидно также, что

поэтому

Подставляя этот результат в (29), находим

Первый член этого выражения соответствует левовинтовому нейтрино (с отрицательной спиральностью), а второй — правовинтовому антинейтрино. Спиральность антинейтрино равна .

Выражение (31) соответствует формуле (10) при . Если бы вместо функции мы рассмотрели функцию , то получили бы аналог формулы (10) при описывающий частицы с положительной спиральностью и античастицы с отрицательной спиральностью.

Как видно, благодаря условию (30) количество состояний безмассового фермиона в два раза меньше, чем для фермиона с массой: два у частицы и два у античастицы. Путем простого формального приема можно теперь добиться того, что частица будет иметь четыре состояния, а переход к античастице не добавляет новых степеней свободы, т. е. античастица будет тождественна частице.

Такое представление безмассового спинорного поля называется представлением Майораны. Спинор Майораны определяется соотношением

    (32)

которое на основании (12) можно переписать в виде

Покажем теперь, что ток майорановских спиноров тождественно равен нулю. В самом деле, с помощью (32), (12) и (20) он может быть преобразован к виду

Используя затем (22) и переходя к обратному порядку сомножителей с учетом статистики Ферми, получаем

т. е.

Таким образом майорановские частицы можно назвать истинно нейтральными.

Если связать майорановский спинор х с использованным выше спинором v соотношением

то лагранжиан (26) примет вид

Не составляет труда убедиться, что благодаря свойству (33) уравнения движения для х и оказываются тождественными.