2.4. Изотопический спин, заряд и вектор тока.

Рассмотрим теперь вращение в фиктивном трехмерном изотопическом пространстве. Поскольку волновые функции не зависят явно от координат этого пространства, а обычные координаты при изотопических преобразованиях не преобразуются, запишем формулы бесконечно малого преобразования только для волновых функций

Здесь — антисимметричные по индексам бесконечно малые углы вращений изотопического пространства.

Видно теперь тензор (5) для рассматриваемого случая отличается от тензора Момента количества Движения (12) отсутствием

орбитального члена

Он полностью аналогичен тензору спинового момента (15) (за исключением того обстоятельства, что но индексам он является тензором трехмерного пространства). Соответствующие пространственные интегралы

сохраняются во времени и представляют компоненты аксиального 3-вектора изотопического спина (в изотопическом пространстве)

Третья компонента этого вектора связывается с электрическим зарядом Q соотношением:

Здесь В — барионное число, — странность, — гиперзаряд.

В случае, когда (-гипероны, пи-мезоны), и соответствующая пространственная плотность представляет собой нулевую компоненту 4-вектора тока

В более общем случае следует учитывать второй член в правой части (21). Так, для протонов и нейтронов, образующих нуклонный изотопический дублет

Для -мезонов и, следовательно,

Как известно, -мезоны образуют изотопический дублет состоящий из и К.

Для иллюстрации рассмотрим изотопические дублет и антидублет Е-гиперонов для для , которые описываются двухкомпонентной комплексной функцией поля

являющейся спинором в трехмерном изотопическом пространстве. При вращении на угол в плоскоси изопространства функции

и и и преобразуются следующим образом (сравни с пунктом А Приложения I):

Здесь — изоспиновая матрица, которая может быть выбрана в диагональном виде

Для бесконечно малого получаем

Сравнивая (27) и (18), находим

Подставив эти соотношения в (19) с учетом явного вида матрицы получим ток изоспина

Преобразования, соответствующие гиперзаряду Y, имеют вид (см § 1.5)

откуда нетрудно найти ток гиперзаряда

Теперь, в соответствии с формулой (21), мы можем получить 4-вектор электромагнитного тока и электрический заряд

Отсюда видно, что функции соответствуют заряженным компонентам дублетов а функции — нейтральным (т. е. ) частицам.

Заметим, наконец, что выражения

и

определяют 4-вектор тока и заряд для любого (в том числе и многокомпонентного) комплексного поля.

Подчеркнем одно обстоятельство. Требование лоренц-инвариантности (и вытекающие из него законы сохранения 4-импульса и момента количества движения) является обязательным атрибутом любой релятивистской теории поля. В то же время инвариантность относительно фазовых преобразований типа преобразований или более общих изотопических преобразований является дополнительным требованием, отражающим те или иные более конкретные представления о свойствах элементарных частиц и соответствующих волновых полей. Эти требования основываются на опыте и зачастую имеют приближенный характер. Так, например, сильные взаимодействия барионов и мезонов являются инвариантными относительно любых вращений в изотопическом пространстве. Взаимодействия с электромагнитным полем разрушают эту инвариантность, сохраняя лишь ее часть, связанную с вращениями вокруг оси , т. е. с законом сохранения электрического заряда. Следовательно, можно сказать, что закон сохранения электрического заряда является точным законом сохранения в сильных и электромагнитных взаимодействиях, тогда как полная изотопическая инвариантность (изотопическая симметрия взаимодействий) и, в частности, законы сохранения двух остальных компонент изотопического спина являются приближенными и нарушаются электромагнитными взаимодействиями.

Подобные приближенные законы сохранения, основанные на приближенных условиях инвариантности или симметрии, в последние годы играют все большую роль в физике элементарных частиц. Среди них наиболее известными являются различные схемы так называемых унитарных симметрий, основанных на так называемых специальных унитарных группах , которые с физической точки зрения являются обобщениями изотопической симметрии. Мы имеем в виду -симметрию, включающую наряду с изоспином странность, -симметрию, в которой участвует еще квантовое число чарм (иначе — очарование), и т. д. Эти симметрии,

как бы вложенные друг в друга, образуют усложняющуюся последовательность и физически проявляются при все более и более высоких энергиях. В области достаточно низких энергий все они являются нарушенными.

Особняком стоит симметрия относительно группы -преобразований в пространстве так называемых цветовых переменных, являющаяся основой локальных калибровочных преобразований, лежащих в основе квантовой хромодинамики. По господствующим в настоящее время представлениям эта цветовая симметрия является точной.