10.3. Связь спина со статистикой. Теорема Паули.
Полученные результаты представляют собой частный случай фундаментальной теоремы Паули, устанавливающей связь трансформационных свойств поля и способа его квантования (связь спина со статистикой):
«Поля, описывающие частицы с целым спином, квантуются по Бозе—Эйнштейну; поля, описывающие частицы с полуцелым спином, квантуются по Ферми—Дираку».
Теорема Паули применима к полям с произвольным (сколь угодно высоким) спином.
При доказательстве теоремы Паули мы использовали положительность метрики и (или) симметрию относительно (13). Однако возможны и иные пути рассуждений. Нарушение связи спина со статистикой, устанавливаемой теоремой Паули, приводит к ряду других глубоких противоречий. Покажем это для комплексного скалярного поля (рассуждение Паули).
Вычислим для этого в явном виде частотные части перестановочной функции в координатном представлении.
Переходя к координатному представлению, получаем в правых частях формул (14) выражения
Мы ввели здесь стандартные обозначения для частотных частей перестановочной функции Паули—Йордана:
причем
Квантование рассматриваемого комплексного скалярного поля по Бозе—Эйнштейну по формулам (14) после перехода к координатному представлению дает
Поэтому полный коммутатор в координатном представлении выражается через функцию Паули—Йордана
В то же время при квантовании по Ферми—Дираку из формулы (11) и формулы (12) с верхним знаком получаем
Эта формула содержит противоречие, поскольку при у — х левая часть ее существенно положительна, а правая обращается в нуль. Последнее легче всего усмотреть из вытекающего из (17) свойства антисимметрии:
Таким образом, квантование скалярного поля по Ферми—Дираку приводит к противоречию со свойствами коммутаторов в пространстве-времени (см. Паули (1941)).
При изложении квантования спинорного поля по Ферми—Дираку часто апеллируют к отрицательному знаку у второго члена в классическом выражении для энергии (7.34), приводящему к знаконеопределенности при квантовании по Бозе — Эйнштейну. Мы не будем повторять эти хорошо известные рассуждения, тем более, что в нашей основной аргументации мы существенно использовали этот знак.
Отметим еще, что мы установили теорему Паули для идеализированного случая свободных полей. В последние годы аналогичное утверждение было доказано для взаимодействующих полей в рамках гак называемой аксиоматической квантовой теории поля (см., например, главу 4 книги Стритера и Вайтмана (1964), а также главу 5 в книге Боголюбова, Логунова, Тодорова (1969)).
