45.3. Обобщенные тождества Уорда.
Произведем в интеграле, стоящем в правой части уравнения (19), линейную замену переменных функционального интегрирования
вида (8.17). Как было установлено в § 8.2, сумма первых трех членов в правой части (17) (совпадающая с лагранжианом (8.16)) является инвариантной относительно (31). Очевидно также, что в силу взаимнообратного характера преобразований 
и аддитивной структуры преобразования А произведение дифференциалов также оказывается инвариантным
Таким образом, вариация функционала (19) при преобразовании (31) целиком обусловливается последними четырьмя членами в правой части (17). Считая 
бесконечно-малой величиной, представим вариацию действия 
в виде
Вариация функционала 
будет равна
Однако функционал 
не должен менять своего значения при замене переменных интегрирования. Поэтому вариация 
должна быть равна нулю и, следовательно,
Функциональное соотношение (32) является производящим для получения обобщенных тождеств Уорда (иногда называемых также тождествами Уорда—Такахаши).
Так, дифференцируя это соотношение по 
, полагая затем 
находим
или
Ввиду перестановочности операций дифференцирования 
и континуального интегрирования в (32), следует считать 
а перестановочным с символами 
также и в (33). Иными словами, в (33) под символом Т следует понимать виково хронологическое произведение, введенное в § 15.3 (см. формулу (16.26)). Таким образом,
(34)
Полученная формула соответствует отсутствию радиационных поправок в продольную часть электромагнитного спаривания, иначе — поперечности всех радиационных поправок:
и может быть записана в виде
Дифференцируя производящее функциональное соотношение (32) по 
находим в пределе 
или
Соотношение (38) устанавливает связь между продольной (по фотонному концу) составляющей слабо-связной 3-вершинной функции и полными одночастичными функциями Грина. Вводя сильносвязную вершину Г по формуле, аналогичной (37.34):
с учетом (37) получаем
Переходя затем в импульсное представление
находим
или
что совпадает с (34.28).
Подобным образом можно получить связи между высшими функциями Грина. Так, например, дифференцируя производящее функциональное соотношение (32) по 
найдем соотношение Уорда—Такахаши, связывающее 4-вершинную функцию комптоновского типа с низшими вертексами и т. д.
Это «второе» тождество Уорда оказывается важным в скалярной электродинамике ввиду расходящегося характера диаграмм комптоновского типа.
