54.2. Вывод спектрального представления.

Рассмотрим функцию Согласно условию 52.2В можно записать ее в виде

Ряд первых членов этой суммы, как и ранее в § 53.2, равен нулю. Так, по соображениям ковариантности

для безнуклонных состояний Кроме того, рассуждая, как и в § 53.2, убеждаемся, что (14) справедливо также для однонуклонного состояния; поэтому интеграл (13) фактически распространен на область, в которой Теперь ясно, что может

быть представлена в виде

Вводя для аналогичные импульсные представления через скалярные функции

с помощью (10) и (12) приходим к соотношениям

Используя здесь (15), получаем также

Ввиду того, что (17) и (18) вполне аналогичны (53.33) и (53.35), можно теперь дословно повторить для функции рассуждения, относящиеся в § 53.3 к функциям

Этим путем получим:

где функции — аналитические во всей комплексной плоскости своего аргумента, за исключением линии разреза

и возрастают на бесконечности не быстрее полинома степени, вследствие чего могут быть представлены в виде, аналогичном (53.52):

Установим теперь некоторые неравенства, которым должны удовлетворять функции . Заметим для этого, что на основании (13) и (15) имеет место соотношение

справедливое при всех . Положим в нем

и воспользуемся тем , что в обычном представлении

Тогда получим

Введем теперь функции

которые в силу (22) являются неотрицательными:

и заметим, что

На основании (20) и (24) можем теперь заключить, что комбинации

обладают спектральным представлением вида

При этом очевидно, что в силу (16) и (19) в качестве в (26) можно взять импульсное представление или выбирая лишь согласно (19) соответствующее правило обхода для полюса

Спектральное представление (26) можно несколько преобразовать. Заметим для этого, что разности

по отношению к k являются полиномами степени Поэтому (26) можно записать в виде

где

а — постоянные, не содержащие матриц Дирака.

Как и в случае бозонной функции q, можно показать, что поскольку на основании (53.9) только в этом случае соответствующая функция Грина имеет полюс первого порядка в точке . Соответствующее доказательство может быть проведено путем рассмотрения матричного элемента S между двумя однонуклоиными состояниями, так же как и в бозонном случае.

Наконец, используя вытекающее из определений (5) и (8) свойство сопряжения

из которого также следует, что

получим, что все являются вещественными.

Представление Челлена — Лемана для фермионной функции Грина получается отсюда с помощью (53.9) при дополнительном предположении .

Мы опять (так же, как в § 53.4) встретились здесь с тем интересным фактом, что при наличии нашей системы условий (§ 52.2,3) задание «степени роста» эквивалентно заданию формы лагранжиана.