36.2. Псевдоскалярное поле с нелинейным взаимодействием.

Рассмотрим вещественное скалярное поле, описываемое

нелинейным лагранжианом

Ввиду того что X зависит лишь от четных степеней поле можно считать не скаляром, а псевдоскаляром. Если теперь заменить функцию на изотопический триплет (или — см. § 3.5)

то мы получим модель для описания реальных взаимодействующих пи-мезонов.

Рис. 48. Диаграммы собственной энергии в модели

Лагранжианы (24) и (25) отличаются только изотопической структурой, и поэтому мы для простоты будем рассматривать первый из них, делая в случае необходимости оговорки, относящиеся к (25).

Рассмотрим структуру членов теории возмущений, основанной на лагранжиане взаимодействия:

и пропагаторе (3). В каждой вершине диаграмм Фейнмана встречаются четыре линии. Соответственно этому максимальный индекс вершины (32.1) оказывается равным нулю вследствие чего рассматриваемая модель является ренормируемой, а степень расходимости диаграмм целиком определяется числом внешних лний и не зависит от порядка теории возмущений.

В силу пеевдоскалярноети поля (отсутствия нечетных степеней ) диаграмм с нечетным числом внешних линий не существует. Наиболее сильно расходятся вакуумные диаграммы. Согласно формуле (32.5) их степень расходимости равна четырем. Диаграммы с двумя внешними концами (рис. 48) расходятся квадратично и, наконец, диаграммы с четырьмя внешними концами (диаграммы рассеяния — рис. 49) расходятся логарифмически.

Квазилокальные операторы, регуляризующие диаграммы, изображенные на рис. 48 и 49, после выполнения интегрирований приводят к контрчленам

При этом величины Z; выражаются рядами по степеням h, причем коэффициенты разложений при снятии регуляризации, расходятся логарифмически, а коэффициенты — квадратично.

Проведем теперь вычисления низших радиационных поправок. Первая радиационная поправка к одночастичному пропагатору имеет вид (13), причем массовый оператор второго порядка в данном случае соответствует диаграмме с тремя внутренними линиями (первая диаграмма в правой части рис. 48) и может быть представлена в виде

Рис. 49 Диаграммы рассеяния в модели .

Интеграл J расходится квадратично. Результат двукратного вычитания в точке имеет вид

Здесь

Обратимся к 4-концевой вершинной функции. Первая радиационная поправка соответствует первой диаграмме в правой части рис. 49. Как видно, она совпадает с диаграммой собственной энергии в модели изображенной на рис. 47, д. Соответственно этому, первые поправки к 4-мезонной вершине могут быть представлены в виде

где

а функции были введены и вычислены в § 36.1 (см. формулы (15)-(17)).

Здесь возникает вопрос о выборе точек вычитания в расходящихся вкладах в вершинную функцию Такие точки вычитания, вообще говоря, могут выбираться независимо для различных

диаграмм. Однако практически удобно выбрать их единым образом для всех вкладов в Для этого заметим, что в силу лоренцевой инвариантности скалярная функция зависит от инвариантных квадратов 4-импульсов и их попарных сумм:

При этом в силу закона сохранения 4-импульса

имеет место соотношение

Поэтому из семи инвариантных аргументов (28) вершинной функции только шесть являются линейно независимыми и точку вычитания в семимерном многообразии (28) следует выбирать с учетом связи (29).

Практически удобной с точки зрения физических приложений и использования в итеративных построениях -операции является симметричный выбор точки вычитания

Такому выбору соответствует

так как в точке (30) все радиационные поправки равны нулю. Если при этом точку вычитания пропагатора выбрать равной , то формулу (31) можно рассматривать как определение перенормированной константы связи. При таком выборе точек вычитания

и

Отметим здесь важное обстоятельство. Как уже упоминалось выше, в квантовополевых теориях с расходимостями параметры

исходного лагранжиана (массы, константы связи) не имеют непосредственного физического смысла. Соответствующие физические параметры следует специально определять после устранения расходимостей. Как отмечалось, такие определения, вообще говоря, неоднозначны. В рассматриваемом случае, например, можно было бы провести вычитание 4-вершины не в точке (30), а в несимметричной точке

соответствующей физическому порогу реакции Этот выбор может представляться бойее физичным, так как величина

непосредственно связана с пороговым значением амплитуды рассеяния (и выражается через -волновую длину рассеяния).

Не составляет труда связать «новую» константу связи со «старой» . Записывая для этого вершинную функцию (34) в точке (36), получим

Возможны и другие определения.

С принципиальной точки зрения различные дефиниции перенормированной константы связи выступают совершенно равноправно. Произвол в определении параметров не приводит к каким-либо затруднениям, и в каждом конкретном случае им можно распоряжаться из соображений удобства.

В то же время физические величины не могут зависеть от указанного произвола, и вследствие этого матричные элементы, определенные в различных схемах вычитания, переходят друг в друга путем замены переменных вида , где функция Q определена разложением, подобным (38). Таким образом, указанный произвол сводится к свободе выбора параметризации того же типа, что и рассмотренная ранее неопределенность (см.§ 34.3). Как будет показано ниже (см. § 36.4 и главу IV), она лежит в основе метода ренормализационной группы.