Главная > Введение в теорию квантованных полей
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

36.2. Псевдоскалярное поле с нелинейным взаимодействием.

Рассмотрим вещественное скалярное поле, описываемое

нелинейным лагранжианом

Ввиду того что X зависит лишь от четных степеней поле можно считать не скаляром, а псевдоскаляром. Если теперь заменить функцию на изотопический триплет (или — см. § 3.5)

то мы получим модель для описания реальных взаимодействующих пи-мезонов.

Рис. 48. Диаграммы собственной энергии в модели

Лагранжианы (24) и (25) отличаются только изотопической структурой, и поэтому мы для простоты будем рассматривать первый из них, делая в случае необходимости оговорки, относящиеся к (25).

Рассмотрим структуру членов теории возмущений, основанной на лагранжиане взаимодействия:

и пропагаторе (3). В каждой вершине диаграмм Фейнмана встречаются четыре линии. Соответственно этому максимальный индекс вершины (32.1) оказывается равным нулю вследствие чего рассматриваемая модель является ренормируемой, а степень расходимости диаграмм целиком определяется числом внешних лний и не зависит от порядка теории возмущений.

В силу пеевдоскалярноети поля (отсутствия нечетных степеней ) диаграмм с нечетным числом внешних линий не существует. Наиболее сильно расходятся вакуумные диаграммы. Согласно формуле (32.5) их степень расходимости равна четырем. Диаграммы с двумя внешними концами (рис. 48) расходятся квадратично и, наконец, диаграммы с четырьмя внешними концами (диаграммы рассеяния — рис. 49) расходятся логарифмически.

Квазилокальные операторы, регуляризующие диаграммы, изображенные на рис. 48 и 49, после выполнения интегрирований приводят к контрчленам

При этом величины Z; выражаются рядами по степеням h, причем коэффициенты разложений при снятии регуляризации, расходятся логарифмически, а коэффициенты — квадратично.

Проведем теперь вычисления низших радиационных поправок. Первая радиационная поправка к одночастичному пропагатору имеет вид (13), причем массовый оператор второго порядка в данном случае соответствует диаграмме с тремя внутренними линиями (первая диаграмма в правой части рис. 48) и может быть представлена в виде

Рис. 49 Диаграммы рассеяния в модели .

Интеграл J расходится квадратично. Результат двукратного вычитания в точке имеет вид

Здесь

Обратимся к 4-концевой вершинной функции. Первая радиационная поправка соответствует первой диаграмме в правой части рис. 49. Как видно, она совпадает с диаграммой собственной энергии в модели изображенной на рис. 47, д. Соответственно этому, первые поправки к 4-мезонной вершине могут быть представлены в виде

где

а функции были введены и вычислены в § 36.1 (см. формулы (15)-(17)).

Здесь возникает вопрос о выборе точек вычитания в расходящихся вкладах в вершинную функцию Такие точки вычитания, вообще говоря, могут выбираться независимо для различных

диаграмм. Однако практически удобно выбрать их единым образом для всех вкладов в Для этого заметим, что в силу лоренцевой инвариантности скалярная функция зависит от инвариантных квадратов 4-импульсов и их попарных сумм:

При этом в силу закона сохранения 4-импульса

имеет место соотношение

Поэтому из семи инвариантных аргументов (28) вершинной функции только шесть являются линейно независимыми и точку вычитания в семимерном многообразии (28) следует выбирать с учетом связи (29).

Практически удобной с точки зрения физических приложений и использования в итеративных построениях -операции является симметричный выбор точки вычитания

Такому выбору соответствует

так как в точке (30) все радиационные поправки равны нулю. Если при этом точку вычитания пропагатора выбрать равной , то формулу (31) можно рассматривать как определение перенормированной константы связи. При таком выборе точек вычитания

и

Отметим здесь важное обстоятельство. Как уже упоминалось выше, в квантовополевых теориях с расходимостями параметры

исходного лагранжиана (массы, константы связи) не имеют непосредственного физического смысла. Соответствующие физические параметры следует специально определять после устранения расходимостей. Как отмечалось, такие определения, вообще говоря, неоднозначны. В рассматриваемом случае, например, можно было бы провести вычитание 4-вершины не в точке (30), а в несимметричной точке

соответствующей физическому порогу реакции Этот выбор может представляться бойее физичным, так как величина

непосредственно связана с пороговым значением амплитуды рассеяния (и выражается через -волновую длину рассеяния).

Не составляет труда связать «новую» константу связи со «старой» . Записывая для этого вершинную функцию (34) в точке (36), получим

Возможны и другие определения.

С принципиальной точки зрения различные дефиниции перенормированной константы связи выступают совершенно равноправно. Произвол в определении параметров не приводит к каким-либо затруднениям, и в каждом конкретном случае им можно распоряжаться из соображений удобства.

В то же время физические величины не могут зависеть от указанного произвола, и вследствие этого матричные элементы, определенные в различных схемах вычитания, переходят друг в друга путем замены переменных вида , где функция Q определена разложением, подобным (38). Таким образом, указанный произвол сводится к свободе выбора параметризации того же типа, что и рассмотренная ранее неопределенность (см.§ 34.3). Как будет показано ниже (см. § 36.4 и главу IV), она лежит в основе метода ренормализационной группы.

1
Оглавление
email@scask.ru