38.5. Учет контрчленов.

Как уже отмечалось, «полные» функции Грина содержат расходимости того же типа, что и матрица рассеяния. Для компенсации их необходимо ввести в лагранжиан взаимодействия известные контрчлены, т. е. перейти от лагранжиана (4) к (33.38).

Напомним, что контрчлены (33.38) устраняют из S-матрицы все расходимости, кроме вакуумных петель, которые в функциях Грина согласно определению компенсируются множителем

Повторяя проведенное выше рассуждение для лагранжиана (33.38), т. е. вводя в формулы (29)-(30), (33), (34) и т. д. контрчлены (33.38), получим уравнения Швингера для функций Грина,

не содержащих расходимостей, в виде

Совершенно аналогичным путем можно прийти к уравнениям типа (42), (43), содержащим вместо вариационных производных операторы М и Р.

Существенное отличие уравнения (52) для функции D от уравнения (39) заключается в наличии в нем члена

Происхождение этого выражения связано с поперечной формой контрчлена который отличается от лагранжиана свободного электромагнитного поля членом . По существу, мы встречаемся здесь с последствиями «неполной ренормировки» функции D, содержащей продольную составляющую. Ясно поэтому, что для получения уравнения с контрчленами, совпадающего по форме с уравнением без контрчленов, достаточно использовать вместо диагонального спаривания операторов электромагнитного поля чисто поперечное спаривание.

Уравнения (51), (52) могут быть получены из (38), (39) (с учетом (36)) с помощью формального преобразования Дайсона

Если теперь перейти к интегральной форме уравнений Швингера, то мы получим вместо (49), (50)

Последние уравнения получаются из (49), (50) тем же преобразованием (53). При этом закон преобразования вершинной функции

вытекает из (40) и (53).

По поводу уравнений типа (51), (52) необходимо сделать еще следующее замечание. Непосредственным стимулом к построению уравнений Швингера явилась надежда получить какие-либо сведения о полных функциях Грина, которые не были бы связаны с аппаратом теории возмущений. Однако решения уравнений типа (38),

(39) содержат расходимости, в то время как уравнения (51), (52) для функций Грина, свободных от бесконечностей, включают расходящиеся постоянные и потому имеют формальный характер. Таким образом, получение какой-либо информации о полных функциях Грина на основе уравнений Швингера наталкиваемся на существенные трудности, связанные с проведением программы выделения бесконечностей.

Разумеется, если рассматривать эти уравнения только как источник получения формальных разложений по степеням константы связи, то соответствующие расходимости скомпенсируются, но при этом мы не получим ничего нового по сравнению с теорией возмущений. Проблема же нахождения эффективного способа решения этих уравнений, не основанного на теории возмущений, в настоящее время еще далека от своего сколько-нибудь удовлетворительного завершения.