43.3. Континуальные интегралы.

Для перехода от (9) к функциональному интегралу введем дискретное «решетчатое» импульсное представление, основанное на конечной системе точек в импульсном пространстве, которая симметрична по отношению к преобразованию

Пусть — четырехмерный элемент объема решетки. Тогда, вводя обозначения

получим из (9), с учетом четности

Замечая, что условие вещественности поля в дискретном импульсном представлении имеет вид

выбирая систему обозначений так, чтобы

положим

причем , а все действительны.

Тогда с помощью обычной гауссовой квадратуры

сомножители правой части (11) могут быть представлены в виде

где

что соответствует обычному определению причинной функции . В дальнейшем, как обычно, знак предельного перехода по явно не указывается, а вместо пишется

Введем новое обозначение

Тогда (11) можно переписать следующим образом:

Произведение представляет собой интегральный вес в дискретном функциональном пространстве. Поскольку он не зависит от , то с помощью преобразования Фурье по переменным

можно прийти к выводу, что соотношение вида (13) имеет место для произвольной функции F от переменных , т. е.

Совершим теперь обратный переход к непрерывному пространству импульсов путем уменьшения элемента решетки и неограниченного увеличения области 4-пространства импульсов, занятого решеткой. Определим функциональный (континуальный) интеграл в виде соответствующего предела правых частей (13) и (14), обозначив его символом

т. е. положим вместо (13) и (14)

и

В левых частях (15, 16) является оператором, а в правых — представляет собой с-функцию.

В соответствии с (12) введем также другую форму функционального интеграла. Положим

где функционал

оказывается равным действию свободного поля. Получаем вместо (15) и (16)

Отметим, что введенный функциональный дифференциал «включает» в себя предел произведения интегралов, стоящих в знаменателе правой части (12). Благодаря этому, например,

Формула (18) теперь непосредственно проверяется линейной подстановкой

Рассмотренный выше предельный переход к непрерывному функциональному пространству выполнен формально. Вопрос об ограничениях, которые необходимо наложить на класс функционалов и на пространство функций для сходимости этого предельного перехода требует отдельного изучения.

Однако можно абстрагироваться от проведенного рассуждения и рассматривать соотношения (15—20) как определения функциональных интегралов. Эти определения могут быть истолкованы как формулы, устанавливающие связь между вакуумным хронологическим ожиданием и функциональным усреднением соответствующих выражений, зависящих от классических с-полей, по квантовым флуктуациям этих полей. Структура флуктуаций определяется классическим действием.

При таком самом общем аксиоматическом введении континуальных интегралов мы совершенно игнорируем вопросы существования, связанные в первую очередь с ультрафиолетовыми расходимостями. Здесь можно сузить класс рассматриваемых квантово-полевых функционалов , ограничившись суммами рядов теории возмущений. Это, в сущности весьма серьезное, ограничение тем не менее оказывается достаточным для существующего в настоящее время круга приложений, рамки которого ограничены квазигауссовой квадратурой вида (15). В рамках теории возмущений мы можем исключить ультрафиолетовые расходимости, либо введя надлежащие контрчлены, либо (путем модификации спаривания регуляризацию.

Такая программа последовательной реализации аксиоматического введения континуального интеграла в рамках теории возмущений была проведена Славновым (1975), который использовал в качестве определения следующую формулу для квазигауссова интеграла:

обобщающую формулу (18). Здесь ядро К — ковариантная функция, такая, что существует обратная функция

Если при этом определены неоднозначно (преобразование Фурье имеет полюс по ), то следует считать, что обход полюса совершается по правилу

Как можно показать, введенный в (21) объект обладает алгебраическими свойствами обычного интеграла, а именно:

а) позволяет выполнять интегрирование по частям,

б) производить замену переменных интегрирования.

Здесь можно также доказать существование кратных интегралов и возможность перемены порядка интегрирования, существование преобразования Фурье и некоторых других свойств, во всяком случае достаточных для обоснования тех преобразований, которые приходится проводить с континуальными интегралами в теории возмущений.

Мы не будем явно формулировать и доказывать все эти свойства, отослав интересующегося читателя к оригинальной работе Славнова (1975). Приведем лишь наиболее полезную для приложений формулу, определяющую функциональную -функцию:

Здесь — некоторая явная функция от — некоторый функционал от Формула (22) означает, что

где — решение уравнения