21.5. Определение функций Sn при любом n.

Покажем теперь, что выражение

являющееся естественным обобщением формул (20) и (29), удовлетворяет всем налагаемым на формальным условиям. Выполнение условий симметрии, ковариантности и полилокальности теперь очевидно, и проверки требуют лишь условия унитарности и причинности.

Ее удобнее провести, пользуясь не (31), а выражением для оператора в целом. Подставляя (31) в (1), получаем:

Мы хотим рассмотреть сейчас некоторые свойства коэффициентов разложения (32). Однако подобно тому как в теории специальных

функций нередко удобнее выводить взаимные свойства функций не из их конкретной структуры, а из некоторой общей производящей функции, в данном случае оказывается более простым проверить условие унитарности и причинности для ряда (32) в целом. С этой целью запишем (32) в несколько измененном виде: член ряда представим в форме

Ряд (32) теперь можно формально просуммировать, вводя Т-экспоненту (Фейнман (1951)):

Мы получили, таким образом, новое выражение матрицы рассеяния

К важному понятию Г-экспоненты можно подойти и с другой стороны. Разобьем область включения взаимодействия, описываемую функцией пространственно-подобными поверхностями на бесконечно большое число бесконечно тонких слоев . Имеем тогда:

T-экспоненту (34) поэтому естественно определить как предел T-произведения:

С помощью представления (35) доказательство унитарности матрицы становится очевидным. В самом деле, правая часть (35) является обычным произведением

взятым в надлежащем хронологическом порядке следования слоев . Но каждый сомножитель этого произведения при достаточно малых является унитарным с точностью до величин высшего порядка малости, поэтому является унитарным все произведение. Тем самым и доказана унитарность

Перейдем теперь к проверке условия причинности. Вычисляя вариационную производную от в точке у, найдем:

Разобьем четырехмерное пространство на две части и G. пространственно-подобной поверхностью относительно которой лежит в «будущем», — в «прошедшем». Имеем тогда:

С другой стороны, получим совершенно аналогично

а также

Отсюда, принимая во внимание свойство унитарности получим на основании (36)

Таким образом, произведение

не зависит от поведения функции в области , т. е. при . По соображениям ковариантности такое положение имеет место также и при . Условие причинности, следовательно, удовлетворяется.

Приведенные доказательства причинности и унитарности оператора весьма просты и наглядны. Нужно, однако, отметить, что с чисто математической точки зрения они не являются вполне последовательными. В самом деле, в ходе рассуждений мы связали вопрос о выполнении элементарных соотношений (9) и (1) для произведения (31) с совершенно неясными вопросами о суммировании ряда (1) в целом, о предельных переходах и т. п.

Строго говоря, все эти элементы для доказательства совсем не требуются. Вместо того чтобы оперировать с Т-экспонентой, мы можем ввести в рассмотрение «T-экспоненту с точностью до заданной степени g», и тогда все вопросы суммирования ряда автоматически снимаются.