29.2. Общий метод устранения расходимостей.

Как было показано Степановым (1963, 1965), построить сходящиеся выражения для можно и не прибегая к промежуточной регуляризации Паули—Вилларса, а используя метод математической индукции и теорему Хана—Банаха о расширении линейного функционала.

Перепишем условие причинности для операторных функций (21.13) в форме

где введено обозначение

Соотношение (3) формально определяет операторное выражение через предыдущие п. В § 28 мы провели конструктивное определение операторных функций как интегрируемых обобщенных функций, т. е. как ядер некоторых линейных функционалов. Мы воспользуемся теперь операторными соотношениями (3) и (4) для построения через предыдущие SA, считая их заданными как ядра линейных функционалов

для функций из некоторого класса . Пользуясь теоремой из § 19.3 об умножении перестановочных функций одинаковой частотности, можно теперь найти такие числа что правая часть (4) определяет функционал

для функций . Если теперь выделить подкласс функций, обладающих свойством

то на этом подклассе можно определить оператор с помощью соотношения

которое и представляет собой строгую формулировку условия причинности (3). В условии (5), как и в (3), не етражеиа симметрия оператора . Поскольку перестановка переменных приводит к замене где

то условие симметрии приводит к тому, что оператор оказывается определенным на более широком классе С:

Очевидно, что в силу непрерывности функций их сумма обращается в нуль в точке Как можно показать (см. Степанов (1965)), справедливо и обратное утверждение, т. е. любая функция из обладающая нулем достаточно высокого порядка при совпадении аргументов, может быть представлена в виде суммы (С).

Таким образом, мы убедились, что симметричный оператор первоначально определенный несимметричным условием причинности на подклассе оказывается определенным на всех функциях обладающих нулем достаточно высокого порядка при совпадении всех аргументов. Как можно показать, этот оператор выражается обычной формулой (21.31) через хронологические произведения лагранжианов.

Для определения при совпадении всех аргументов, т. е. для перехода от класса С на весь класс можно воспользоваться теоремой Хана-Банаха (см. например, Владимиров (1964)) о расширении функционала. При таком расширении остается произвольным некоторый конечный квазилокальный оператор который в силу условия унитарности оказывается также антиэртовы

Таким образом, достаточно установить способ построения по заданному лагранжиану цепочки квазилокальных операторов обеспечивающих сходимость выражения (2). Для полученных этим путем предельных выражений все условия, наложенные на включая и условие интегрируемости, выполняются автоматически. Для решения этой задачи, очевидно, достаточно выбрать в качестве ) квазилокальные операторы того же операторного типа, что и (1) (при ). Говоря здесь, что принадлежит к тому же операторному типу, что и (1), мы подразумеваем, что состоит из тех же операторных членов

что и (1), отличаясь от него лишь коэффициентными функциями.

Из (2) теперь следует, что также будет выражением операторного типа (1). Чтобы упростить формулы, удобно положить

тогда

где

Поскольку принадлежит к тому же операторному типу, что , можно, очевидно, разработать методику построения путем некоторого преобразования коэффициентных функций оператора Т.

Рис. 24.