11.4. Гамильтонов формализм и каноническое квантование.

В целях сравнения с рассмотренной выше схемой квантования, основанной на лагранжевом формализме, мы рассмотрим сейчас каноническую схему квантования для действительного скалярного поля.

В основе канонического квантования лежит канонический (иначе гамильтонов) формализм классической механики. Напомним кратко его суть применительно к системам с бесконечно-большим числом степеней свободы (классическим, полям).

В каноническом формализме основной величиной является функция Гамильтона Н, рассматриваемая как функция канонических переменных — обобщенных координат и обобщенных импульсов . В случае отсутствия внешних полей функция Гамильтона совпадает с энергией системы . В качестве обобщенных координат в нашем случае можно выбрать значение функции поля в узлах пространственной решетки

Здесь подразумевается разбиение всего -мерного объема на ячейки размером - около узлов х. Обозначая

канонический импульс определим следующим образом:

Здесь — функция Лагранжа. В соответствии с (1.2) она может быть представлена в виде

С учетом этого соотношения получаем

Функцию Гамильтона (гамильтониан) с помощью формул (2.9), (2.10), (28) и (29) запишем следующим образом:

Здесь имеется в виду, что выражены как функции обобщенных импульсов

Для целей перехода к непрерывному случаю удобно также ввести другой канонический импульс (фактически плотность импульса)

Вместо (30) получаем

где опять скорости выражены через импульсы.

Канонические переменные удовлетворяют уравнениям движения в форме Гамильтона

которые также называют каноническими уравнениями. Пусть теперь — некоторая динамическая величина, представленная как функция канонических переменных и не зависящая явно от времени. Ее полная производная по времени с помощью (33) представима в виде

где введено сокращенное обозначение для так называемых классических скобок Пуассона

Скобки Пуассона для канонических переменных имеют вид

Постулат квантования в каноническом формализме состоит в замене классических скобок Пуассона на квантовые скобки Пуассона

Операторы - после квантования удовлетворяют перестановочным соотношениям

Переходя к непрерывному пределу, получаем

а также

С учетом того, что для лагранжиана (3.1)

убеждаемся, что формула (39) совпадает с (3). «Релятивизация» формулы (39) и переход к обычным (не одновременным) коммутационным соотношениям (3) может быть выполнен путем обращения к импульсному представлению.

Уравнение движения (40) является аналогом нулевой компоненты (9.24).

Отметим, что при применении метода канонического квантования к другим полям могут встретиться трудности. Мы имеем здесь в виду прежде всего случаи так называемых сингулярных лагранжианов. Лагранжиан является сингулярным, если канонический импульс, определенный согласно (31), оказывается тождественно равным нулю.

Пример сингулярного лагранжиана представляет градиентноинвариантный лагранжиан электромагнитного поля

В этом случае естественно рассматривать четыре компоненты потенциала как независимые канонические координаты. Однако импульс канонически сопряженный координате оказывается равным нулю:

Второй пример сингулярного лагранжиана дает лагранжиан поля Янга—Миллса (8.28). Стандартная процедура канонического квантования в этом случае должна быть модифицирована. Отсылая читателя, интересующегося этим вопросом, к книге Дирака (1964), отметим, что физически сингулярные лагранжианы соответствуют системам с неголономными связями и для проведения квантования необходимо эти связи разрешить.