ГЛАВА IV. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
§ 20. Основные понятия теории взаимодействующих полей
20.1. Введение.
При рассмотрении задачи взаимодействия в квантовой механике обычно исходят из уравнения Шредингера
в котором полный гамильтониан системы Н представляют в виде суммы гамильтониана свободного движения 
и гамильтониана взаимодействия 
Поскольку, как правило, получить точное решение уравнения Шредингера (9.2) оказывается невозможным, обычно используют метод теории возмущений. При этом в исходном приближении пренебрегают членом взаимодействия, получая точно решаемую задачу
В теории квантовых полей, как и в квантовой механике, точные решения удается получить лишь в ряде простых моделей (см., например, Швебер (1961), гл. 7, Боголюбов и Ширков (1980), гл. 3). Поэтому здесь также обычно прибегают к теории возмущений, основанной на исходном приближении невзаимодействующих частиц. При этом приходится вводить в рассмотрение соответствующие идеализированные свободные поля и рассматривать взаимодействие как некоторый дополнительный фактор, мало изменяющий свойства динамической системы, фактор, который может «включаться» и «выключаться». На первый взгляд такая постановка вопроса как будто бы не вызывает особых возражений. Действительно, элементарные частицы интенсивно взаимодействуют лишь при достаточном их сближении (в процессах столкновений). Поэтому кажется естественным, что на больших расстояниях взаимодействие между полями несущественно, и в определенном приближении можно пренебречь им и рассматривать реальные частицы как свободные.
Однако (как, например, хорошо известно из классической электродинамики) даже свободные частицы взаимодействуют с создававмыми
полями. В квантовом случае этой ситуации соответствует взаимодействие частиц с вакуумом (например, явление поляризации вакуума — см. §§ 27, 41), как со своего рода физической средой, в которой эти частицы движутся. Несмотря на возможную слабость взаимодействия, благодаря малости размеров частиц, эффекты взаимодействия оказываются большими (в пределе точечных частиц — бесконечными).
Поэтому использование концепции «голых» (т. е. невзаимодействующих даже с вакуумом) частиц оказывается неудовлетворительным, и представляется весьма желательным с самого начала иметь дело с реальными взаимодействующими частицами, не вводя искусственного представления о фиктивных свободных полях. Такая программа в известной степени реализуется в так называемом аксиоматическом построении теории квантованных полей.
Отметим в этой связи, что обращение к теории возмущений молчаливо предполагает возможность использования разложений в ряд по степеням константы (или констант) взаимодействия. Такое предположение фактически содержит две гипотезы:
а) Существование предела слабой связи у физически содержательных решений уравнений квантовой теории поля. Решения, обладающие таким пределом, назовем адиабатическими.
б) Аналитичность или достаточно слабую неаналитичность в окрестности нуля по константе связи у адиабатического решения.
Использование этих гипотез исторически основывается на опыте квантовой электродинамики, т. е. квантовополевой модели, описывающей взаимодействие электрически заряженных частиц с электромагнитным полем на основе механизма, изложенного в § 8.2. В этой модели константой связи является электрический заряд 
, а параметр разложения теории возмущений пропорционален постоянной тонкой структуры а, которая в принятой здесь системе единиц равна 
- Фактический параметр разложения квантовой электродинамики оказывается величиной порядка 
— см. ниже (41.40), (50.9)], вследствие чего высшие члены теории возмущений здесь оказываются численно весьма малыми поправками к основным выражениям, получаемым из первых отличных от нуля вкладов (подобных рассмотренным ниже в § 26).
Такие выражения, вычисленные еще в конце 20-х годов, оказались весьма близкими к соответствующим опытным данным, вследствие чего возможность использования разложений теории возмущений в квантовой электродинамике с самого начала не вызывала сомнений.
Иными словами, гипотеза а) в квантовой электродинамике всегда представлялась вполне естественной. Сходное положение в целом имело место и в четырехфермионной теории слабых взаимодействий. Ввиду этого гипотеза а) (а с нею вместе и неявным образом гипотеза б)) фактически принималась, справедливой в современной
квантовой теории поля, несмотря на многолетние бесплодные попытки получить хотя бы грубое количественное описание опытных данных по сильным взаимодействиям адронов на основе различных вариантов моделей взаимодействия мезонных и барионных полей, подобных упомянутым в § 8.1 (см. также ниже §§ 32, 36).
С современной точки зрения использование этих гипотез в квантовой теории поля в общем случае не является обоснованным. Как можно показать, исходя из весьма общих соображений (см., например, Дайсон (1953)), в начале координат — в комплексной плоскости константы связи — квантовополевые амплитуды имеют существенно особую точку. Вследствие этого они и также вероятности переходов в общем случае содержат вклады, не разлагаемые в ряды по степеням константы связи (непертурбативные вклады), а степенные разложения теории возмущений не имеют области сходимости и представляют собой асимптотические ряды в смысле Пуанкаре.
В квантовой электродинамике и современной перенормируемой теории слабых взаимодействий (объединенных в единой модели Салама — Вайнберга — Глешоу) в силу уже отмеченной чрезвычайной малости параметра разложения непертурбативные вклады оказываются пренебрежимо малыми, а обрывки расходящихся степенных рядов, получаемых из низших порядков теории возмущений, представляют достаточно надежную основу для численных аппроксимаций. В то же время в современной кварк-глюонной калибровочной модели сильных взаимодействий — квантовой хромодинамике — реальный параметр разложения а имеет численное значение порядка 0,1. Вследствие этого для широкого круга физических явлений непертурбативные вклады оказываются существенными, а обрывки степенных рядов, получаемых по перенормируемой теории возмущений, могут служить основой для численных оценок лишь при довольно специфических обстоятельствах.
Таким образом, метод теории возмущений, развиваемый в центральной части этой книги (главы IV, V, VI), является основой для квантовополевых расчетов широкого круга процессов электромагнитных и слабых взаимодействий, а также, в некоторых случаях, процессов сильных взаимодействий.
Цель нашего ближайшего изложения — построить последовательный аппарат теории возмущений для конструктивного вычисления матричных элементов и вероятностей переходов. В соответствии с вышесказанным мы прибегнем к процедуре, основанной на исходном приближении невзаимодействующих полей.
Полученный этим путем формализм будет в основном применен (главы VI, VII) к задачам спинорной электродинамики. В § 36 мы в общих чертах рассматриваем традиционные модели пион-нуклон ного взаимодействия. Приложений к задачам квантовой хромодинамики и слабых взаимодействий в этой книге мы не рассматриваем вовсе.
