57.5. Дальнейшее развитие метода.

Мы закончим наше изложение кратким обзором дальнейшего развития метода дисперсионных соотношений и его важнейших приложений.

Вскоре после возникновения в середине 50-х годов метод дисперсионных соотношений занял очень важное место в теории взаимодействия частиц и в первую очередь в теории сильных взаимодействий. Мы перечислим сейчас основные точные результаты, полученные этим методом.

Вслед за строгим доказательством дисперсионных соотношений для пион-нуклонного рассеяния (Боголюбов (1956), Симанчик (1957), Боголюбов, Медведев, Поливанов (1957)) они были доказаны для комптоновского рассеяния на нуклонах (Боголюбов, Ширков (1957)), для фоторождения пионов на нуклонах (Логунов, Степанов (1956); Логунов, Тавхелидзе, Соловьев (1957); Чу, Голдбергер, Лоу, Намбу (1957)), для ряда процессов виртуального рассеяния (т. е. когда одна или две частицы из четырех не находятся на массовой поверхности — см. работы Владимирова, Логунова (1959); Оме, Тейлора (1959); Логунова, Соловьева (1958, 1959)), а также для некоторых неупругих процессов типа 2 частицы частицы (см. работы Логунова, Тавхелидзе (1958), Логунова, Биленького, Тавхелидзе (1958)).

Следующая важная группа результатов относится к получению строгих ограничений на асимптотическое поведение амплитуд рассеяния в области высоких энергий. Первый важный шаг здесь был сделан Фруассаром (1961), который, исходя из гипотетических дисперсионных соотношений по квадрату переданного импульса t, показал, что полное сечение с ростом энергии не может возрастать быстрее Е. Гринберг и Лоу (1961) показали, что для получения такого результата достаточно использовать аналитичность амплитуды по в эллипсе, большая полуось которого определяется ближайшей особенностью амплитуды при . Надлежащие свойства аналитичности амплитуды были впоследствии установлены Мартэном (1963), который существенно использовал условие унитарности. В дальнейшем результат Фруассара был несколько улучшен, и в современном варианте (см. Сииг, Рой (1970)) имеет вид

Здесь — масса частицы, переносящей взаимодействие в перекрестном канале (масса пиона). Этот результат имеет важное физическое значение, поскольку он явно отражает влияние свойств перекрестного канала на асимптотику прямого канала и дает оценку, довольно близкую к экспериментальным данным.

Дисперсионные соотношения были положены в основу известного рассуждения Померанчука (1958) об асимптотическом равенстве полных сечений рассеяния частиц и античастиц на одной и той же мишени (теорема Померанчука).

Некоторое уточнение и более простое доказательство теоремы Померанчука на основе теоремы Фрагмена — Линделёфа из теории

аналитических функций было дано Сугаварой, Каназавой (1961) и Мейманом (1962). Результат (41) был обобщен Логуновым, Нгуен Ван Хьеу, Тодоровым, Хрусталевым (1963, 1965) и Ван Ховом (1963) (см. также обзоры Логунова, Нгуен Ван Хьеу, Тодорова (1966)) на дифференциальные упругие сечения. Здесь было доказано асимптотическое равенство

при фиксированном квадрате переданного импульса

Использованная при доказательстве дисперсионных соотношений система аксиом (§§ 52.2) оказалась имеющей более широкое значение. Как было показано в работах Медведева, Павлова, Поливанова, Суханова (1972) и других (см. также обзор Медведева, Поливанова (1964)) она оказалась очень удобной для систематического построения квантовой теории поля.

Отметим, наконец, некоторые наиболее важные результаты, полученные с помощью метода дисперсионных соотношений в теоретических схемах полуфеноменологического характера.

Применение дисперсионного метода к слабым вершинам привело к известному соотношению Голдбергера — Тримана (1958). Оно позволило также связать вероятности гиперонных распадов с фазами -рассеяния (Окубо, Маршак, Сударшан (1959); Тодоров, Хрусталев (1959)).

Путем комбинирования дисперсионных соотношений при фиксированной передаче импульса с гипотезой об асимптотике реджевского типа Логунов, Соловьев, Тавхелидзе (1967) и Иги, Мацуда (1967) получили так называемые правила сумм при конечной энергии, явно отражающие связь свойств рассеяния в прямом и перекрестном каналах. Эти правила сумм впоследствии привели к возникновению концепции дуальности. Дисперсионные правила сумм были широко использованы при формулировке результатов гипотезы алгебры токов и приближения мягких пионов (правила сумм Адлера).

В работах Логунова, Нгуен Ван Хьеу, Меетвиришвили (1967) метод дисперсионных соотношений был положен в основу изучения особого класса реакций, впоследствии получивших название инклюзивных процессов.