9.4. Постулат квантования волновых полей.

В качестве основного постулата квантования волновых полей мы примем, что операторы 4-вектора энергии-импульса Р, тензора момента количества движения М, заряда Q и т. п., являющиеся генераторами бесконечно малых преобразований векторов состояний (см. формулы (18) и (20)), выражаются через операторные функции полей теми же соотношениями типа (2.10), (2.16), (2.29), что и в классической теории полей, разумеется, с установлением при этом надлежащего порядка операторного умножения. Этот постулат является дальнейшим применением принципа соответствия и определяет закон трансформации вторично-квантованных амплитуд состояния.

Заметим теперь, что операторы соответствующие преобразованиям L из группы Лоренца, реализуют представление группы Лоренца и потому, в частности, обладают групповым свойством

Используя это свойство и форму бесконечно малого преобразования (18), можно получить выражение для конечных преобразований. Для этого следует записать для дифференциальное групповое уравнение и проинтегрировать его (провести выкладку, аналогичную содержащейся в § 6.4). Этим путем получаем, например, для конечных пространственно-временных трансляций

Рассмотрим условие совместимости трансформационных свойств операторных волновых функций. Из (11) и (15) получаем

Условие (23) является наиболее общим операторным условием совместности трансформационных свойств операторных полевых функций, рассмотренных в § 2, и трансформационных свойств амплитуд состояний, вытекающих из постулата квантования. Они накладывают на операторы поля ряд важных условий, которые удобно рассмотреть в дифференциальном виде (т. е. для бесконечно малых преобразований). Займемся этим.

Начнем с бесконечно малого преобразования сдвига

Используя (18), рассмотрим в (23) члены первого порядка по . Получим

т. е.

При бесконечно малых поворотах

получаем аналогично

Наконец, для бесконечно малых фазовых преобразований находим

Можно получить также интегральные аналоги уравнений (24)- (26). Рассмотрим наиболее простой случай конечных трансляций. Переписывая для этого уравнения (23) в виде

подставим в него (22). Находим

При получаем отсюда

Эта формула, очевидно, является обобщением (7). Она дает зависимость от пространственно-временных координат в явном виде. Из нее следует, что выражение

может рассматриваться как оператор поля в представлении Шредингера. Поэтому и связанный с (27) соотношением

является оператором поля в гейзенберговском представлении. Уравнения (24) представляют собой уравнения движения в гейзенберговском представлении.

Мы получили уравнения (24)-(26), представляющие собой операторные условия для квантованных функций волновых полей, не зависящие от конкретного вида перестановочных соотношений. Разумеется, вместо принятия общего постулата квантования можно было бы постулировать именно эти уравнения. Такая процедура иногда принимается при изложении теории на базе канонического формализма (см. ниже § 11.4). Она, однако, уступает изложенной в общности. Уравнения (24)-(26) позволяют установить ряд свойств операторов и, общих для всех полей.