47.5. Свойства функциональных уравнений.

Полученные функциональные уравнения можно расположить в определенной иерархической последовательности. Центральное место занимает уравнение (32) для инвариантного заряда. Оно является замкнутым и его необходимо решать в первую очередь. Вторую группу образуют уравнения (29) и (31), зависящие от . Уравнения подобного типа можно называть ренормгрупповыми уравнениями для одноаргументных функций, имея в виду наличие в них лишь одного аргумента типа Наконец в третью группу отнесем уравнение (30) для миогоаргументной функции ?. Помимо инвариантного заряда h оно содержит соответствующую одноаргументную («симметричную») функцию

Все эти уравнения оказываются универсальными. Это означает, что они являются справедливыми в любой перенормируемой квантовополевой модели с одной константой связи g и одной массой т. Второе условие несущественно, поскольку переход к случаю нескольких масс тк достигается простым «размножением» массового аргумента . Следует также отметить, что под «константой связи» в данном контексте подразумевается параметр разложения теории возмущений, неперенормированный аналог которого имеется в исходном полном лагранжиане модели. Под это определение подпадает параметр типа в квантовой электродинамике, фиксирующий калибровку электромагнитного поля (а также аналогичный параметр в квантовой хромодинамике).

Таким образом, в любой квантовополевой модели с одной (в указанном выше смысле) константой связи g уравнение для инвариантного

заряда имеет вид

уравнения для одноаргументных функций —

а уравнения для многоаргументных вершин —

Здесь — «симметричная» функция, связанная с соотношением (27), а аргумент у может быть заменен на набор или опущен. Последний случай отвечает безмассовой модели.

Подобная универсальность имеет место и для функциональных уравнений, отвечающих квантовополевым моделям с двумя или большим числом констант связи (см. ниже § 48.1). Как можно показать (см. Ширков (1982)), эта универсальность выходит далеко за рамки квантовой теории поля. Дело в том, что функциональное уравнение рассмотренного типа отражает простое свойство транзитивности физических характеристик относительно способа задания своих краевых (или начальных) значений. Это свойство справедливо для широкого класса динамических систем, обладающих однородностью по соответствующей переменной. Вследствие этого уравнения подобного типа (с точностью до простой замены переменных) могут быть записаны в самых различных разделах теоретической физики (статистической физике, теории переноса излучения, теории турбулентности, гидродинамике, теории упругости и т. д.).

Функциональные уравнения (29) — (32) оказываются также форминвариантнымн относительно преобразований константы связи вида

где Q — произвольная функция двух аргументов, однозначно обратимая относительно второго, т. е. допускающая представление

В самом деле, определяя «новый» инвариантный заряд соотношением, аналогичным (41)

простой выкладкой убеждаемся, что функция G удовлетворяет уравнению (38). Подобным же образом с учетом надлежащих переобозначений (например, ) сохраняются и уравнения (39), (40).

Инвариантность относительно (41) в частности означает, что наряду с константой связи можно использовать, например, ее квадрат (т. е. истинный параметр разложения теории возмущений в теориях с трилинейным взаимодействием). Она также означает

возможность преобразования более специального вида

К выражениям подобной структуры можно прийти с помощью формул типа (37), а также, исследуя связи между перенормированными константами связи, полученными в различных перенормировочных схемах (см., например, § 36.2, а также ниже § 49.1).