49.3. Асимптотики функций Грина.

Перейдем теперь к ультрафиолетовому анализу уравнений второго класса — уравнений для одночастичных функций Грина и симметричных высших функций Грина. Соответствующие дифференциальные уравнения (48.20), (48.21) запишем в асимптотической форме

Здесь введены обозначения:

Будем решать уравнение (28). Его общее решение представимо в виде:

где — произвольная функция. Первый член правой части представляет собой общее решение однородного уравнения, соответствующего (28). Он может быть представлен в виде

Поэтому

Принимая во внимание условие нормировки

получаем

Формула (31) представляет собой аналог квадратуры (14). Она весьма удобна для исследования возможных ультрафиолетовых асимптотик одночастичных функций Грина и симметричных многочастичных функций.

Проведем такой анализ схематически, применительно к возможным асимптотикам инвариантного заряда, рассмотренным в § 49.2:

а) Конечная перенормировка заряда (21). Существуют три возможности:

a1) интеграл

сходится на верхнем пределе. Тогда

— функция Грина имеет конечный предел. Перенормировка волновой функции также конечна.

а2) интеграл расходится на верхнем пределе, однако интеграл

сходится. Тогда

т. в. одночастичная функция Грина асимптотически возрастает (или убывает) степенным образом. Показатель степени

называется аномальной размерностью.

а3) Интеграл расходится и «одного вычитания», проведенного при переходе к недостаточно, т. е. тоже расходится. В этом случае, вообще говоря, на степенную асимптотику накладываются более слабые логарифмические зависимости:

Поскольку инвариантный заряд h представляется произведением одночастичных и симметричных функций Грина в различных степенях

то в случае асимптотики отдельных сомножителей в (35) соответствуют асимптотике произведения. Можно назвать такой случай нормальным. При вариантах асимптотики сомножителей

отличаются от асимптотики произведения. При этом, очевидно, аномальные размерности удовлетворяют соотношению

Мы назовем эти случаи аномальными.

б) Бесконечная перенормировка константы связи (22). Здесь возможно большее количество подвариантов, нежели при конечной перенормировке h, соответствующих различным асимптотикам h. Эти асимптотики могут иметь, в частности, (квази) логарифмический характер (23а) или (квази) степенной характер . В нормальных случаях асимптотики отдельных функций Грина будут совпадать с (23), в аномальных — отклоняться в ту или иную сторону. Отметим, что степенные асимптотики вида (33) могут получаться в аномальном случае, соответствующем (23а), а также в нормальном случае, соответствующем (23б). В последнем варианте правило суммы (36) не будет иметь места.

в) Случай асимптотической свободы (24). В этом случае при малых значениях константы h мы не выходим из области слабой связи. Поэтому явное вычисление функций Р, у может быть проведено с помощью теории возмущений. В низшем неисчезающем порядке теории возмущений получаем,

Поэтому