34.3. Полные функции Грина G, D и вершинная часть Г.

Можно также показать, что совокупность преобразований (19), (20), эквивалентная членам (10) в отношении внутренних линий диаграмм Фейнмана, может быть полностью сведена к изменению массы и заряда электрона. Для этого рассмотрим подробнее структуру факторов, соответствующих внутренним элементам диаграмм, с учетом радиационных поправок.

Начнем с внутренней фермионной линии. Радиационные поправки к такой линии обусловлены диаграммами собственно-энергетического типа. Сумму всевозможных таких сильно связных диаграмм всех порядков мы обозначим кругом с двумя фермионными входами (рис. 39), а соответствующий фактор — через .

Ясно, что 2 является функцией импульсов соответствующих входу и выходу диаграммы. Но так как то

где в соответствии с (27.4)

Рис. 40. Совокупность диаграмм, соответствующих полной электронной функции Грина.

Полный фактор распространения фермиона G, содержащий всевозможные радиационные вставки типа собственной энергии, соответствует совокупности диаграмм, изображенных на рис. 40, и может быть представлен в виде

т. е.

Аналогичным образом можно сконструировать полную функцию Грина фотона и обобщенную вершинную часть. Так, суммируя вклад от собственно-энергетических частей фотона

приходим к полному фактору распространения фотона

Важной особенностью формулы (24) является тот факт, что в силу поперечного характера оператора П радиационные поправки к продольному члену равны нулю. Напомним в этой связи, что поперечная форма П обусловлена требованием градиентной инвариантности матрицы рассеяния (см. (27.29) и (33.31)). Можно показать также, что в свою очередь является градиентно-инвариантной величиной и не зависит от

Обратимся, наконец, к вершинным диаграммам, т. е. к диаграммам с одним фермионным входом, одним фермионным выходом и

внешним фотонным входом. Введем сумму сильно связных диаграмм такого типа Г, которую можно представить в виде

где — сумма всевозможных сильно связных радиационных поправок. Слабо связные диаграммы этого типа мы всегда будем относить к радиационным поправкам во внешние линии, т. е. к поправкам электронных и фотонной функций Грина.

Согласно результатам § 33.3, сильно связная вершинная часть и оператор собственной энергии электрона связаны между собой обобщенным тождеством Уорда, которое в обозначениях данного параграфа имеет вид

Эта формула получена из (33.28) путем суммирования по всем порядкам теории возмущений. Дифференцируя ее по компонентам 4-вектора k и полагая k — О, получаем обычное тождество Уорда

Используя связи (22) и (25), можно перейти в (26) к полной вершинной части Г и полной функции Грина G:

Эту связь называют иногда соотношением Уорда—Такахаши.

Заметим теперь, что хотя соотношения (22)-(28) могут формально иметь место и до процесса устранения бесконечностей, нас главным образом будут интересовать связи этого типа между величинами, не содержащими расходимостей. Поэтому будем считать, что указанные соотношения записаны уже после устранения бесконечностей.

Тогда в конечных величинах G, D и Г имеется неоднозначность, связанная с возможностью введения в лагранжиан взаимодействия конечных членов (10). Поэтому установим вид трансформации величин G, D и Г при добавлении в лагранжиан выражения (10). Рассмотрим сначала преобразование 2 и П. Выше было показано, что функции и заряд при введении упомянутых членов преобразуются согласно формулам (18). Заметим теперь, что, поскольку в каждой вершине встречаются две фермионные и одна фотонная линии, то можно считать, что (18) эквивалентно преобразованию, при котором не меняются, а заряд , соответствующий каждой вершине, внутренней по отношению к и П, изменяется согласно

(рис. 41). Что касается содержащихся в и П двух внешних вершин, т. е. вершин, соединяющих и П с остальными частями

диаграмм, то для полной перенормировки (29) в каждой из этих вершин будет недоставать по корню из соответствующего z (см. рис. 42). Поэтому закон преобразования S и П можно представить в виде

причем дается (29).

Рис. 41. Преобразование вершины, внутренней по отношению к 2 и П.

Рис. 42. Преобразование вершины, внешней по отношению к 2.

Переходя к преобразованию полных функций Грина G и D, заметим, что в процессе суммирования, приводящем к (22) и (24), необходимо лишь произвести замену

что

Наконец, учет члена во всех внутренних фермионных линиях приводит к перенормировке массы:

Аналогичным путем легко убедиться, что учет членов (10) в диаграммах вершинного типа дает:

Суммируя, получаем, что введение членов (10) эквивалентно следующему преобразованию факторов :

Заметим еще, что с помощью факторов G, D и Г вычисления любого процесса сколь угодно высокого порядка можно производить на основе так называемых «скелетных» диаграмм Фейнмана. Совокупность скелетных диаграмм получается из совокупности всех связных диаграмм устранением из них диаграмм, которые включают элементы, изображенные на рис. 35. Поэтому в скелетных диаграммах не содержится собственно-энергетических и вершинных частей. Зато при подсчете соответствующих коэффициентных функций мы должны использовать не обычные факторы распространения полные факторы распространения G и D и вершинам скелетной диаграммы сопоставлять не Подчеркнем, что в этой схеме вычисления, оперируя ренормированными функциями G, D и Г, уже не приходится прибегать к вычитательной процедуре, поскольку, как было ранее установлено, вычитание должно применяться лишь к элементам диаграмм типа рис. 35.

Отсюда также следует, что влияние членов (10) на коэффициентные функции -матрицы, соответствующие более сложным неприводимым диаграммам, полностью описывается перенормировкой (38) величин , относящихся к элементам соответствующей скелетной диаграммы, и не приводит к каким-либо дополнительным эффектам.

Ясно также, что множители соответствующие факторам и Г скелетной диаграммы, приводят в конечном счете к перенормировке зарядов (29) во внутренних узлах скелетной диаграммы.

Таким образом, с точки зрения внутренних частей сколь угодно сложных диаграмм любого порядка введение членов эквивалентно перенормировке величин G, D и Г:

что в свою очередь эквивалентно перенормировке заряда (29), или, с учетом тождества Уорда,

В совокупности с установленным выше характером влияния члена это означает, что действие четырех членов (10) сводится к перенормировке двух величин — массы и заряда , описываемой формулами (36) и (40).

Поэтому, если одновременно с введением членов (10) заменить массу и заряд в исходных уравнениях на величины

то в результате преобразований (36) и (40) мы придем к первоначальным значениям массы и заряда . Наоборот, вместо введения членов (10) достаточно было перейти с самого начала к новым массе и заряду .

Таким образом, одновременное осуществление перенормировок (38) и (41) дает в результате теорию, эквивалентную первоначальной. Эти преобразования, очевидно, обладают групповым свойством и приводят нас к группе преобразований, оставляющих инвариантными наблюдаемые значения . Мы назовем эту группу группой ренормировок. Она будет рассмотрена более подробно в главе IX.

Уравнения (39) и (40) непосредственно обобщаются на случай :

Важно отметить, что для сохранения физического смысла перенормированных массы и заряда произвольные постоянные должны удовлетворять некоторым условиям. Так, из требований конечности и положительности массы, а также конечности и действительности заряда вытекают следующие ограничения