45.2. Градиентная инвариантность матрицы рассеяния.
Докажем теперь градиентную инвариантность S-матрицы. Для доказательства возьмем функционал 
в произвольной калибровке (19) и произведем в нем замену переменных интегрирования с единичным
якобианом:
где Р — числовой параметр.
Производящий функционал (19) примет вид
(26)
где
Согласно редукционной формуле матричные элементы S-матрицы выражаются через вариационные производные от 
, умноженные на операторы проектирования (21—23). При варьировании функционала 
зависящего от лагранжиана (26), вариационные производные будут эффективно видоизменяться:
Подставляя правую часть (27) в (23), находим, что в силу условия поперечности реальных фотонов 
второй член из (27) не дает вклада в матричные элементы. Нетрудно показать, что добавки в правые части (28) после действия операторов проектирования (21, 22) также фактически не дают вклада в матричные элементы. Это происходит вследствие того, что множители
стоящие в этих операторах, при действии на линейные объекты вида 
сокращаются с одночастичными спариваниями по схеме:
При действии на нелинейные объекты вида
такая компенсация имеет место лишь для слабо-связных диаграмм, вследствие чего при переходе на массовую поверхность 
вклад от вторых слагаемых эффективно сводится к перенормировке внешних линий.
Таким образом, при вычислении матричных элементов выражение (26) можно эффективно заменить на
где
Итак, мы установили, что при вычислении матричных элементов переход от одних значений параметра 
к другим 
может быть произведен заменой переменных интегрирования, т. е. операцией, не меняющей 
, а, следовательно, и не влияющей на значения матричных элементов. Тем самым показано, что матричные элементы не зависят от 
что и завершает доказательство градиентной инвариантности матрицы рассеяния.
Здесь следует оговориться, что это утверждение справедливо лишь для перенормированной матрицы рассеяния, поскольку (как было отмечено) переход от одной калибровки к другой приводит к дополнительной перенормировке внешних линий.
