8.2. Локальные фазовые преобразования и калибровочные поля.

В теории взаимодействующих полей важную роль играют преобразования функций поля, зависящие не от постоянных параметров, а от параметров, являющихся функциями координат (параметров-функций).

Примером такого преобразования является градиентное преобразование электромагнитного потенциала (5.5), зависящее от параметра-функции .

Взаимодействие полей, описывающих заряженные частицы с электромагнитным полем, может, быть введено на основе локального обобщения фазового преобразования (6).

Изменение калибровки (6) означает изменение фазового множителя, т. е. изменение, не приводящее к каким-либо физическим следствиям. Инвариантность относительно такого преобразования

(см. Паули (1941)) соответствует тому, что только выражения билинейные по связаны с физически измеримыми величинами. Потребуем теперь, чтобы теория оставалась инвариантной и в том случае, когда параметр преобразования (6) зависит от х:

т. е. относительный фазовый множитель функции поля в двух различных пространственно-временных точках был бы совершенно произволен. Локальные фазовые преобразования вида (9), а также их многопараметрические аналоги — см. ниже (20), (21) — называются калибровочными преобразованиями.

Не составляет труда убедиться, что лагранжианы рассмотренных выше комплексных полей (3.32), (7.27) не являются инвариантными относительно локальных фазовых преобразований вида (9) в силу того, что соответствующие градиенты, кроме фазового множителя, получают аддитивную добавку:

Инвариантность лагранжиана можно восстановить, если ввести дополнительное векторное поле преобразующееся одновременно с (9), таким образом, чтобы его преобразование компенсировало бы изменение лагранжиана под влиянием (10). Этого можно достичь путем замены всех производных в лагранжиане на операторы

при условии, что закон преобразования поля имеет вид

Выражения называются ковариантными производными. Под одновременным действием фазового преобразования (9) комплексного поля и «компенсирующего» его градиентного преобразования (12) вспомогательного векторного поля они преобразуются подобно (9), т. е. меняют фазу

Константа , входящая в (11) и (13), может быть отождествлена с электрическим зарядом, а векторное поле — с электромагнитным полем, рассмотренным в § 5. Таким образом, электромагнитное поле, введенное через ковариантные производные D, D, выступает как компенсирующее поле. Поля, компенсирующие изменение

калибровки полей материи, называют также калибровочными полями.

В силу абелевого (перестановочного) характера группы, образованной преобразованиями (12), электромагнитное поле является калибровочным абелевым полем.

Переход в свободном лагранжиане от обычных производных к ковариантным

приводит к появлению членов взаимодействия исходного поля с электромагнитным полем А.

Взаимодействие, введенное с помощью ковариантных производных (или, как иногда говорят, с помощью «удлинения» производных), называют также минимальным электромагнитным взаимодействием.

В случае спинорных полей, когда линейно по производным, минимальное электромагнитное взаимодействие линейно по полю А:

Для получения полного лагранжиана системы [электромагнитное поле + заряженные комплексные поля] к (14) следует добавить лагранжиан свободного электромагнитного поля, инвариантный относительно градиентного преобразования (12). Так, например, полный лагранжиан спинорной электродинамики (т. е. системы электрон-позитронного и электромагнитного полей) будет иметь вид

Выражение (16) инвариантно относительно преобразований

Для полей с целым спином в обычной формулировке (3.32), (4.6) минимальное взаимодействие содержит квадратичные члены. Так, лагранжиану комплексного скалярного поля (3.32) соответствует

Однако при использовании формализма Дэффина—Кеммера лагранжиан (4.35) оказывается линейным относительно производных. Соответственно этому

Таким образом, мы убедились, что электромагнитное поле обеспечивает инвариантность полного лагранжиана относительно локальных фазовых преобразований, являющихся обобщениями «глобальных» фазовых преобразований (6), приводящих к сохранению электрического заряда. Такая точка зрения устанавливает связи

между свойствами полей в пространстве-времени и так называемыми внутренними симметриями. Как отмечалось в § 2.4, такие симметрии, как правило, описываются группами . Эти группы являются неабелевыми.

Требование инвариантности относительно неабелевых калибровочных преобразований приводит к необходимости введения новых векторных полей — полей Янга — Миллса (1954).