38.2. Редукционные формулы.

Для того чтобы установить связь между введенными в § 37 полными высшими функциями Грина и

матричными элементами матрицы рассеяния, решим сначала вспомогательную задачу: выразим матричные элементы оператора S через вакуумные ожидания от его вариационных производных.

Рассмотрим матричный элемент S-матрицы

причем амплитуды состояния возьмем в нормировке (25.11), т. е.

Как обычно, будем считать, что среди частиц в начальном и конечном состояниях нет тождественных (т е. с совпадающими импульсами и остальными квантовыми числами а). Иными словами, любой из операторов рождения из в точности (анти)коммутирует с каждым из операторов уничтожения из

Станем теперь передвигать операторы рождения налево, коммутируя их с матрицей рассеяния или ее производными, а операторы уничтожения — направо. Для этого воспользуемся формулами (11), (12), преобразовав их к импульсному представлению. Для бесспиновых бозе-операторов получим из (11)

Вместо S-матрицы в этих формулах могут стоять ее вариационные производные.

Для спинорного поля имеем соответственно

Аналогичные формулы можно написать, заменяя S на ее вариационные производные. Для производных, содержащих нечетное число дифференцирований по внешним полям, коммутаторы в левых частях следует заменить на антикоммутаторы.

Выполняя с помощью формул (20) коммутации операторов в (19) с S-матрицей, получим

Здесь

— знаковый фактор, учитывающий перемены знаков при коммутировании ферми-полей.

Для того чтобы связать матричный элемент с функцией Грина следует теперь разрешить уравнение (16) относительно и подставить полученное выражение в (21).

Для этого воспользуемся уравнениями, которым удовлетворяют свободные спаривания, входящие в правую часть (16). Эти уравнения могут быть записаны в виде

Здесь

Действуя операторами на (16) раз, получаем

Совокупность соотношений (21) и (24) дает явную связь между матричным элементом матрицы рассеяния и соответствующей связной вершинной функцией. Напомним, что формально матричный элемент, стоящий в левой части соотношения (21), содержит несвязные вклады, представляющиеся сингулярным фазовым множителем 50. Как отмечалось в главе V, при вычислениях по теории возмущений мы опустили подобные нефизические вклады, вводя в лагранжиан взаимодействия соответствующие вакуумные контрчлены. Эта процедура эквивалентна делению правой части (21) на вакуумное ожидание -матрицы или умножению ее на под знаком вакуумного ожидания от вариационной производной

С учетом (25), получаем из (21) и (24)

Формулы такого типа называются редукционными формулами

Вводя импульсное представление для высших функций Грина по формуле (17), можем представить (26) в виде

Здесь — фурье-образы дифференциальных операторов (23), совпадающие с обратными одночастичными функциями Грина свободных полей.