42.3. Лэмбовский сдвиг уровней.

Важным примером этого рода является задача вычисления радиационного смещения уровней

электрона в водородоподобном атоме — так называемого лэмбовского сдвига. Для вычисления сверхтонкой структуры рассмотрим движение электрона в кулоновском поле ядра. Положим

или, в импульсном представлении,

В этом случае функция имеет вид (10), причем энергия Е после подстановки (10) в (15) может быть определена из уравнения

где Е удобно записать в виде ряда по степеням

выбрав в качестве нулевого приближения случай отсутствия радиационных поправок. Уравнение в этом приближении

представляет собой обычное уравнение Дирака для движения электрона в кулоновском поле ядра, а функции и собственные значения Е соответствуют тонкой структуре водородоподобных уровнем. Ясно, что добавки к именно и являются искомым лэмбовский смещением уровней, обусловленным радиационными поправками.

Вычисление первой поправки может быть проведено на основе уравнения (20). Внося в него (25) и (27) с учетом (28), приравнивая члены порядка переходя к импульсному представлению

и умножая уравнение (26) слева на сопряженный спинор такой, что

получаем выражение для в виде суммы двух членов, один из которых, соответствует радиационной поправке к оператору массы,

а второй, поляризации вакуума:

где

и

причем

Здесь — оператор поляризации второго порядка, рассмотренный еще в главе VI. На основании (35.3) и (35.8) после устранения расходимости этот оператор имеет вид

    (33)

где

Выражение (30) дает основной вклад в радиационное смещение уровней. Подставляя в (30) разложение (22) для , находим, что первый член приводит к расходящемуся выражению типа собственной энергии электрона, который полностью компенсируется соответствующим переопределением T-произведения (ср. (12)). Второй же член приводит к выражению

в котором является введенной в § 28.1 вершинной функцией; последняя после устранения ультрафиолетовой расходимости определяется выражением (35.27), которое, как было установлено, содержит инфракрасную особенность. Для устранения этой особенности следует рассмотреть следующие члены массового оператора. Отсылая читателя, интересующегося деталями вычислений, к оригинальным исследованиям заметим здесь, что основной вклад

в дает нерелятивистский член, соответствующий малому импульсу внешнего поля который был впервые вычислен Бете (1947).

Важной особенностью выражения (35) является его явная зависимость от вида функций что приводит к неодинаковой величине лэмбовского сдвига для различных уровней электрона в водородоподобном атоме. Именно это обстоятельство и приводит к наблюдаемому на опыте расщеплению уровней которые согласно одноэлектронной теории Дирака являются совпадающими.

Член поляризации вакуума (31) в низшем приближении приводит к смещению одних лишь S-уровней. В самом деле, подставляя (23), (24), (32), (33) в (31), получаем:

где определяется выражением (34) при — нерелятивистская кулоновская волновая функция.

Заметим, наконец, что рассчитанное (см. Мор (1975)) значение относительного сдвига уровней водорода, вычисленное с точностью до членов порядка с учетом влияния на тонкую структуру эффектов взаимодействия электрона с магнитным дипольным моментом ядра, а также эффектов структуры и конечности массы ядра, оказалось равным 1057,87 ± 0,02 МГц, что находится в полном согласии с экспериментальным значением 1057,8594 ± 0,0019 МГц, полученным недавно Соколовым и Яковлевым (1982).